«Встраивание» языка в себя

Главный / Общий Вопрос

Пусть $L$ будет языком. Определим языки $L_i$ с $L_0 = L$ и

L_{i} = {x w y : x y \in L_{i - 1}, w \in L}

$L_i = \{xwy : xy \in L_{i-1}, w \in L\}$ для

i \geq 1

$i \geq 1$ . Рассмотрим

. Таким образом, мы неоднократно «встраивать»

в себя , чтобы получить

\hat{L} = ⋃ L_{i}

$\hat{L} = \bigcup L_i$

L

$L$

\hat{L}

$\hat{L}$

Имеет изучены? У него есть имя? $\hat{L}$

Примеры / мотивация

В соответствии с просьбой в комментариях здесь несколько примеров , чтобы лучше проиллюстрировать то , что является. Тогда, так как никто (пока), кажется, не видел это понятие, я буду обсуждать мою мотивацию взглянуть на это. $\hat{L}$

Клаус Дрегер избил меня до добавления примеров. Я приведу эти примеры из комментариев здесь для большей наглядности, поскольку они являются хорошими примерами.

Если $L$ является Унарным языком , то (и , следовательно , является регулярным). $\hat{L} = L^+$

Если $L = {ab}$ , то представляет собой язык Дейк . $\hat{L}$

Вот альтернативный способ думать . Учитывая язык над алфавитом мы играем в следующую игру. Возьмем любой Пытаться уменьшить в пустую строку путем многократного удаления подслов , которые находятся в . (Здесь нам нужно немного осторожнее относиться к самой пустой строке, чтобы убедиться, что это эквивалентно приведенному выше определению, но это морально правильно.) $\hat{L}$ $L$ $A$ $w \in A^*$ $w$ $\epsilon$ $L$

Первоначально я пришел определить , рассматривая удаляющие силы в словах. Возьмем как язык кубов над двоичным алфавитом . Тогда , и мы можем рассмотреть следующий « -deletion» $\hat{L}$ $L = \{w^3 : w \in A^*\}$ $A = \{a,b\}$ $aaabaabaabbabab \in \hat{L}$ $L$

a (a a b a a b a a b) b a b a b \to a b a b a b \to ϵ .

$a(aabaabaab)babab \to ababab \to \epsilon.$

Обратите внимание, что не все удаления будут работать

(a a a) b a a b a a b b a b a b \to b a a b a a b b a b a b

$(aaa)baabaabbabab \to baabaabbabab$

и мы застряли со словом без куба. Итак, есть другая нотация «сильно -deletable» , которая в общем случае не совпадает с . $L$ $\hat{L}$

Один последний пример, если на языке квадратов над двоичным алфавитом , то представляет строки как с четным числом «s и четным числом » с. Понятно, что это условие необходимо. Один из способов убедиться, что этого достаточно, - рассмотреть вопрос об удалении квадратов и вспомнить, что каждое двоичное слово длиной 4 или великое имеет квадрат. Здесь регулярно. $L$ $A = \{a,b\}$ $\hat{L}$ $a$ $b$ $\hat{L}$

Для больших алфавитов этот тип аргумента терпит неудачу, так как есть произвольно длинные слова без квадратов . С алфавитами размером , я могу показать , не является регулярным использованием Myhill-Nerode и тот факта , существует сколь угодно долго квадратные свободные слова, но я не был в состоянии сказать гораздо больше. Я надеялся, что рассмотрение этого более абстрактного способа может пролить некоторый свет на ситуацию (и это более абстрактное определение кажется интересным само по себе). $k \geq 3$ $\hat{L}$

reference-request fl.formal-languages

— Джон Мачасек
источник

Можете ли вы привести несколько иллюстративных примеров?

— тел.

L

$L$

{()}

$\{()\}$

\hat{L}

$\hat{L}$

L = {a^{i} | i \in I}

$L=\{a^i|i\in I\}$

\hat{L} = L^{+}

$\hat{L}=L^+$

@phs Я изменил вопрос (гораздо) более подробно.

— Джон Мачачек

L

$L$

\hat{L}

$\hat{L}$

Спасибо за примеры и мотивацию. Теперь намного легче запомнить вашу проблему и обойти ее. Продолжайте обновлять исходный вопрос, если у вас есть новые разработки.

— тел.

Этот вопрос связан с так называемыми системами вставки .

$1 \rightarrow r$ $r$ $R$ $u \rightarrow_R v$ $u = u'u''$ $v = u'ru''$ $r \in R$ $\buildrel{*}\over\rightarrow_R$ $\rightarrow_R$ $L$ $A^*$ $\buildrel{*}\over\rightarrow_R$

[L]_{{\overset{*}{\to}}_{R}} = {v \in A^{*} ∣ there exists u \in L such that u {\overset{*}{\to}}_{R} v}

$[L]_{\buildrel{*}\over\rightarrow_R} = \{ v \in A^* \mid \text{ there exists $u \in L$ such that $u \buildrel{*}\over\rightarrow_R v$} \}$

E

$E$

⩽

$\leqslant$

x_{0}, x_{1}, \dots

$x_0, x_1, \ldots$

E

$E$

i < j

$i < j$

x_{i} ⩽ x_{j}

$x_i \leqslant x_j$ . Следующая теорема доказана в [1]:

Если - конечное множество слов, такое, что язык конечен, то отношение является хорошим квазипорядком на и регулярно. $H$ $A^* \setminus A^*HA^*$ $\buildrel{*}\over\rightarrow_R$ $A^*$ $[L]_{\buildrel{*}\over\rightarrow_R}$

[1] W. Bucher, A. Ehrenfeucht и D. Haussler, Об общих регуляторах, порожденных деривационными отношениями, Theor. Вычи. Sci. 40 , 2-3 (1985), 131–148.

— J.-E. Штырь
источник

Как Ж.-Е. Пин указал, что мой вопрос касается вставки . Я нашел другой источник, который я опубликую здесь для всех, кто заинтересован.

L.Kari. О вставке и удалении в формальных языках. Кандидат наук. Диссертация, Университет Турку, 1991.

Вот часть I и часть II диссертации.

Из того, что я могу сказать, это оригинальный источник для изучения вставки.

— Джон Мачасек
источник