Вычислить многомерный многогранник из заданного набора знаковых векторов

Для заданного набора гиперплоскостей, определяемых нормальными векторами , его типами ячеек (или знаковыми векторами) являются все векторы для которых существует вектор так , что и $h_1,\dots,h_m \in \mathbf R^d$ $t\in\{+,-\}^m$ $v\in\mathbf R^d$ $\langle v,h_i \rangle \neq 0$ $t_i = \text{sign}( \langle v,h_i \rangle )$ имеет место для всех . Здесь, обозначает скалярное произведение , а обозначает знак ( или ) от ненулевого вещественного числа . $i$ $\langle u,v\rangle$ $\text{sign}(x)$ $+$ $-$ $x$

Вопрос: Какой самый быстрый известный алгоритм для обратной операции? Учитывая набор типов ячеек , мы хотим вычислить некоторый набор гиперплоскостей в как можно меньшем количестве измерений, чтобы его типы ячеек были надмножеством . $t_1,\dots,t_n$ $t_1,\dots,t_n$

— Holger
источник

Кстати, не ясно, что является внутренним произведением гиперплоскости и вектора. Вы намеревались, чтобы

был нормальным вектором

гиперплоскости?

h_{i}

$h_i$

i

$i$

— Сашо Николов

Да, они должны быть нормальными векторами - я формально указал именно то, что я ищу.

— Хольгер

Это эквивалентно вычислению ранга знака матрицы, которая является NP-трудной, как показано в этой статье . Таким образом, вы не можете ожидать слишком эффективного алгоритма.

— Сашо Николов
источник