Достаточные условия для коллапса полиномиальной иерархии (PH)

Каковы некоторые (не очень известные) утверждения о том, что, если это правда, PH должен разрушиться?

Ответы, содержащие краткое высокоуровневое утверждение со ссылками, приветствуются. Я попытался выполнить обратный поиск без особой удачи.

Существует (растущее) число параметризованных результатов сложности, где существование зародышеобразования полиномиального размера подразумевает коллапс PH до третьего уровня. Центральная техника дана в [1], основываясь на предыдущей работе (ссылка в [1]).

В качестве простого примера, проблема -Path является параметризованной версией проблемы Longest Path:$k$

$k$ -Path экземпляра : Граф и целое число . Параметр : . Вопрос : содержит путь длины ? G k k G k
$G$$k$
$k$
$G$$k$

Эта проблема в FPT (с несколько практичными алгоритмами), но в [2] они показывают, что если оно имеет ядро ​​полиномиального размера (в ), то PH падает до . (Текущее представление обычно формулируется как отрицательный результат кернализации, если только NP coNP / poly или coNP NP / poly, поэтому поиск чего-то вроде «нет ядра полинома, если только не» приводит к большому количеству результатов.)Σ P 3 ⊆ $k$$\Sigma^{P}_{3}$$\subseteq$$\subseteq$

Рекомендации

1. HL Bodlaender, BMP Jansen и S. Kratsch, "Нижние границы кернелизации по кросс-композиции", SIAM J. Discrete Math., 28 (2014), с. 277–305. [версия arXiv]
2. HL Bodlaender, RG Downey, MR Fellows, D. Hermelin, "О проблемах без полиномиальных ядер", Journal of Computer and System Sciences, 75 (8): 423-434. 2009. [Стэнфордская версия]

Вот еще одно интересное условие, при котором полиномиальная иерархия сворачивается на третий уровень: предположим, что NP-полный язык имеет случайное саморегуляция (неадаптивное), затем полиномиальная иерархия сворачивается в . Для справки: посмотрите на заметки Луки Тревизана . (Теорема 67)$\Sigma_{3}^{P}$

Еще одно интересное условие:

Мы знаем, что аппроксимация в (теперь в делает аппроксимацию в ).B P P N P B P P Σ P 2 # 3 S A T Σ P$\#3SAT$$BPP^{NP}$$BPP$$\Sigma_2^{P}$$\#3SAT$$\Sigma_3^{P}$

Кроме того, по теореме Тоды, .$PH \subseteq P^{\#P}$

Сочетание этих два, мы получим: Если аппроксимирующие эквивалентны вычислению точно, то полиномиальная иерархия разрушается.# 3 S A $\#3SAT$$\#3SAT$

Крах PH подразумевается коллапсом булевой иерархии . Первоначальный результат принадлежит Кадину [1]; Чанг и Кадин [2] уточнили, что

Рекомендации:

[1] Джим Кадин, Полиномиальная временная иерархия разрушается, если булева иерархия разрушается , SIAM Journal of Computing 17 (1988), no. 6, стр. 1263–1282, doi: 10.1137 / 0217080 .

[2] Ричард Чанг и Джим Кадин, Булева иерархия и полиномиальная иерархия: более тесная связь , SIAM Journal of Computing 25 (1996), no. 2, с. 340–354, дои: 10.1137 / S0097539790178069 .

Вычисление уникальных решений проблем рушится ( Hemaspaandra-Naik-Ogihara-Selman ), но вы должны быть немного осторожны в том, как формализовать это утверждение. (Например, оно не известно , является ли разрушается .) Один формализации выглядит следующим образом :$\mathsf{NP}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{NP}=\mathsf{UP}$$\mathsf{PH}$

Предположим, что существует такой что для каждой формулы 3SAT , если неудовлетворителен, то не существует такого, что , и если выполнимо, то есть уникальный таким образом, что . Тогда рушится.$L \in \mathsf{NP}$$\varphi$$\varphi$$x$$(\varphi,x) \in L$$\varphi$ $x$$(\varphi,x) \in L$$\mathsf{PH}$

Другая формализация:

$\mathsf{NPMV} \subseteq_c \mathsf{NPSV}$ подразумевает .$\mathsf{PH}$

Существует большой выбор результатов, предполагающих, что PH не разрушается. Пусть , т. не разрушается. Затем такие результаты могут быть суммированы как , где B является доказанным результатом.$A := \forall i , \Sigma^{P}_{i} \neq \Pi^{P}_{i}$$\mathbb{PH}$$A \implies B$

Простым контрапозитивом любой такой результат эквивалентен , т. Е. Если результат не выполняется безусловно, то также должен свернуться. Исторически эти результаты служили двум целям:$\bar{B} \implies \bar{A}$$\mathbb{PH}$

1. Чтобы повысить уверенность в том, что не разрушается, показывая, что это подразумевает результаты, которые мы считаем истинными (или, что эквивалентно, противоположными, что маловероятные результаты подразумевают коллапс).$\mathbb{PH}$
2. Чтобы создать сеть результатов, которые являются истинными, если принять, что не разрушается, без необходимости ждать подтверждения этого результата. т.е. установить условные результаты.$\mathbb{PH}$

Примечание: также нередко в статьях предполагается, что не разрушается в дополнение к некоторым другим гипотезам, например (обобщенной) гипотезе Римана. Тогда контрапозитив просто показывает, что хотя бы одна из гипотез неверна.$\mathbb{PH}$

Вот несколько кратких:

1. $PSPACE \subseteq P/poly$ .
2. $EXP \subseteq P/poly$ .
3. $NP \subseteq P/log$ .