Разделение ребер на радужные треугольники

Мне интересно, если следующая проблема NP-трудна.

Входные данные: $G = (V,E)$ простой график и раскраска $f : E \to \{1,2,3\}$ краев ($f$ не проверяет какие-либо конкретные свойства).

Вопрос: возможно ли разбиение$E$ в $|E|/3$ треугольники, так что каждый треугольник имеет один край каждого цвета?

Я знаю, что без цветов проблема «разбиения края» графа на $K_n$, $n \geq 3$NP-трудный (см . NP-Полнота некоторых проблем с краевым разделением ), но с цветами, которые я не знаю.

Я также был бы заинтересован в результате для крайнего разбиения на радугу $K_c$, с $c$постоянная. Конечно, в этом случае проблема становится:

Входные данные: $G = (V,E)$ простой график и раскраска $f : E \to \{1,\ldots,c(c-1)/2\}$ краев ($f$ не проверяет какие-либо конкретные свойства).

Вопрос: возможно ли разбиение$E$ в $|E|/(c(c-1)/2)$ $K_c$х, такая что каждая клика $K_c$ имеет один край каждого цвета?

Я перешел по ссылке в вопросе, и сокращение там фактически приводит к графам, ребра которых имеют естественную окраску, так что каждый $K_n$ На графике присутствует «радуга» $K_n$"(имеет ровно одно ребро каждого цвета). Другими словами, мы можем легко отрегулировать уменьшение в этой бумаге так, чтобы оно сводилось к вашей проблеме, а не уменьшалось до разбиения на $K_n$s проблема: просто назначьте каждому ребру цвет в соответствии с этой естественной раскраской, и тогда график можно будет разбить на «радугу» $K_n$s "тогда и только тогда, когда он может быть разбит на $K_n$с на всех.

Базовая структура сокращения в этой статье может быть выполнена с помощью следующих 3 шагов:

1. Создайте много копий определенного графика $H_{n,p}$,
2. Определите определенные части некоторых копий $H_{n,p}$ друг с другом (т.е. объединить вершины / ребра между несколькими различными копиями $H_{n,p}$).
3. Удалите определенные вершины / ребра из некоторых копий.

График $H_{n,p}$ имеет в качестве своих вершин множество длины$n$ векторы по модулю $p$ для которого компоненты добавляют к $0$ модификация $p$, Ребра соединяют каждые две вершины, которые отличаются только двумя компонентами с разницей$+1$ а также $-1$ в этих двух компонентах.

Я предлагаю следующую раскраску для этого графика: назначьте цвет каждому ребру в соответствии с его направлением. Если$x$ а также $y$ смежные вершины, то $x-y$ вектор с $n-2$ компоненты, равные $0$один компонент равен $1$ и один компонент равен $-1$, Другими словами, для каждого края$(x, y)$ есть ${n \choose 2}$ варианты для каких компонентов $x-y$ненулевые Если мы назначим уникальный цвет для каждой из этих опций, то у нас будет раскраска для всех ребер, так что у каждого ребра в одном и том же направлении будет одинаковый цвет. Довольно легко проверить, что в$K_n$ в $H_{n,p}$в том же направлении. Поэтому каждый$K_n$ в $H_{n,p}$ это радуга $K_n$ под эту раскраску.

Когда мы следуем за сокращением, мы используем эту раскраску для каждой копии $H_{n,p}$, Поэтому в конце шага 1 в приведенном выше списке каждый$K_n$ на графике радуга $K_n$,

На шаге 2 приведенного выше списка мы идентифицируем некоторые вершины / ребра друг с другом. В частности, в сокращении мы всегда определяем$K_n$ с другим $K_n$, Но в этой ситуации (где все$K_n$с из копии $H_{n,p}$) каждый $K_n$ это либо перевод "стандарт $K_n$«который называет газета $K$ или перевод $-K$, Поэтому мы либо идентифицируем две параллельные$K_n$с или два $K_n$с "сальто" друг от друга. В любом случае, края, которые идентифицированы по двум$K_n$s параллельны и поэтому имеют одинаковый цвет. Например, см. Рисунок 2 в документе; идентифицированные ребра всегда параллельны. Таким образом, поскольку мы никогда не пытаемся идентифицировать два ребра разных цветов, раскраска в конце шага 1 в приведенном выше списке может быть естественным образом превращена в раскраску в конце шага 2. Идентификация некоторых вершин / ребер вместе не создает любой новый$K_n$с, так что в конце этого шага все еще $K_n$ это радуга $K_n$,

Наконец, в шаге 3 мы удаляем некоторые вершины / ребра, которые также не создают новых $K_n$s. Таким образом, у нас есть желаемое свойство: под цвет, который я указал, каждый$K_n$ на графике, созданном этим сокращением, есть радуга $K_n$,