Противоречивые результаты для студентов

Я ищу примеры результатов, которые идут вразрез с интуицией людей для общей аудитории. Результаты, которые, если спросить у неэкспертов «что говорит ваша интуиция?», Почти все ошиблись бы. Заявление о результатах должно быть легко объяснимо для студентов в CS / математике. Я в основном ищу результаты в области компьютерных наук.

Каковы наиболее противоречивые / неожиданные результаты (общего интереса) в вашем регионе?

Для широкой аудитории вы должны придерживаться того, что они могут видеть . Как только вы начнете теоретизировать, они запустят свои мобильные телефоны.

Вот несколько идей, которые можно разработать для завершения примеров:

1. Есть поверхность, которая имеет только одну сторону .
2. Кривая может заполнить весь квадрат .
3. Есть кривые постоянной ширины, кроме круга.
4. Можно раскрасить плоскость тремя цветами таким образом, чтобы каждая точка границы была три-границей .

Если вы можете положиться на немного математических знаний, вы можете сделать больше:

1. Нечетных чисел столько же, сколько и натуральных.
2. Существует непрерывная и нигде не дифференцируемая функция .
3. Есть функция которая разрывна на всех рациональных числах и дифференцируема на всех иррациональных числах.$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$
4. Банаха-Тарского «парадокс» .

Для программистов вы можете попробовать:

1. В невозможные функционалы : есть программа , которая принимает предикат p : stream → bool, где streamявляется типом данных бесконечных двоичных последовательностей, и возвращает trueтогда и только тогда , когда p αявляется trueдля всех потоков α(это несчетное множество), и в falseпротивном случае.

2. Можно играть в покер по телефону в доверенном способом , который предотвращает обман.

3. Группа людей может рассчитать свою среднюю зарплату, и никто не узнает зарплату другого человека.

4. Существует программа, которая создает двоичное дерево $T$ со следующими свойствами:

   • дерево бесконечно$T$
   • нет программы, которая отслеживает бесконечный путь в $T$

Одна идея - это нечто простое из потоковых алгоритмов . Вероятно, лучшим кандидатом является алгоритм большинства. Скажем, вы видите поток чисел , один за другим, и вы знаете, что одно число встречается более половины времени, но вы не знаете, какое из них. Как вы можете найти номер большинства, если вы помните только два числа одновременно$s_1, \ldots, s_n$ ? Ответ - алгоритм Мисры-Гриса.

На каждом временном шаге вы сохраняете число из потока и частотомер f . В начале вы устанавливаете x на первое число потока и инициализируете частоту f равной 1. Затем, когда вы видите новое число s i , вы проверяете, если x = s i . Если x = s i , увеличьте f до f + 1 , в противном случае уменьшите f до f - 1 . Если f = 0 , установите x в s $x$$f$$x$$f$$s_i$$x = s_i$$x=s_i$$f$$f+1$$f$$f-1$$f=0$$x$$s_i$и обратно к 1 . После последнего элемента потока, если существовал мажоритарный элемент, он будет равен $f$$1$$x$ .

Другая идея - известная игра, иллюстрирующая доказательства с нулевым разглашением . Я думаю, что это из-за Одед Голдрайх и похоже на доказательство с нулевым знанием для изоморфизма графа.

Чтобы сделать ответ самодостаточным, вот игра. Предположим, вы хотите убедить своего дальтоника в том, что вы можете отличить красный от зеленого. У вашего друга две колоды карт, и он знает, что одна колода зеленая, а другая красная. Он делает следующее, не видя его: с вероятностью 1/2 он берет одну карту из каждой колоды, с вероятностью 1/4 он берет две карты из левой колоды, а с вероятностью 1/4 он берет две карты из правой колоды , Затем он показывает вам карточки и спрашивает, имеют ли они одинаковый цвет. Если вы не дальтоник, вы, конечно, можете ответить правильно каждый раз. Если вы дальтоник, вы потерпите неудачу с вероятностью 1/2. Так что теперь, если в игру играют 10 раз, вероятность того, что вы сможете выиграть каждый раз, будучи дальтоником, чрезвычайно мала.

Кикер в том, что если ваш друг знал две колоды карт двух разных цветов, но не знал, какая из них красная, а какая зеленая, он все равно не узнает в конце этого! Итак, в заключение:

1. В доказательствах есть место случайности.
2. Вы можете убедить кого-то, что вы что-то знаете, не давая им никакой информации об этом.

Объем единичной сферы размерности сначала увеличивается с ростом n ( 2 , π , 4 π / 3 , … ), но начинает уменьшаться при n = 6 и в конечном итоге сходится к 0 при n → ∞ .$n$$n$$2,\pi,4\pi/3,\dots$$n=6$$0$$n\to\infty$

Противоречивым результатом теории сложности является теорема PCP:

Неофициально заявляет, что для каждой задачи A существует эффективная рандомизированная машина Тьюринга, которая может проверять правильность доказательства (доказательство принадлежности к A ), используя логарифмическое число случайных битов и считывая только постоянное количество битов из доказательства. Константа может быть уменьшена до 3 бит. Следовательно, рандомизированный верификатор должен считывать только три бита из объявленного доказательства.$NP$$A$$A$

Одна вещь, которая оказывается нелогичной для студентов бакалавриата CS, заключается в том, что можно выбрать статистику порядка из несортированного массива из n элементов за O ( n ) время. Все студенты думают, что они должны сначала обязательно отсортировать массив (за O ( n l g n ) время).$i$$n$$O(n)$$O(n~lg ~n)$

Основываясь на ответе / угле MdB, классическим результатом чего-то нелогичного во время открытия в TCS в его основе является существование самой (не) разрешимости . на рубеже 20- ^го века Гильберт, отражая мышление других ведущих математиков того времени, подумал, что математику можно систематизировать (в некоторой степени в форме того, что мы теперь признаем алгоритмическим ) и в некоторой степени через понятие «финитизм» ( который имеет грубые параллели с идеей алгоритма как конечной последовательности шагов). он предложил известные открытые проблемы в этом направлении. его (и другие) интуиция оказалась в некотором роде неправильной. ПротивоударностьТеорема Годельса и проблема Остановки Туринга . оба были изначально чрезвычайно абстрактными концепциями / результатами и длинными техническими документами / аргументами, понятными только для ведущих математиков того времени, но теперь они усовершенствованы до более простых концептуальных структур и преподаются студентам. изначально они не рассматривались как два аспекта / лица одного и того же явления, но теперь они есть.

также потребовалось около ¾ века, чтобы доказать, что целочисленные диофантовы уравнения неразрешимы, 10-я проблема Гильбертса . это противоречит здравому смыслу в том смысле, что всегда было известно, что теория чисел была чрезвычайно трудной, но концепция, что некоторые конкретные / идентифицируемые проблемы в ней на самом деле «невозможно решить», была для некоторых почти шокирующей. неразрешимость продолжает оставаться серьезной проблемой в математике / TCS, даже несмотря на то, что у нас десятилетия экспоненциального роста аппаратного обеспечения из-за закона Мура и все же массивных суперкомпьютеров, которые в некотором смысле все еще «бессильны против него». некоторые аспекты неожиданности неразрешимости можно найти в книге Клейна « Математика, потеря уверенности ».

Это кажется очевидным, но из личного опыта идея о том, что вы можете оценить медиану коллекции предметов, используя постоянное количество операций, немного шокирует. И если это кажется слишком техническим, вы всегда можете преобразовать его в утверждение о проведении выборов (вам нужно 1300 человек, чтобы получить выборку с ошибкой 3%, независимо от численности населения).

С этим связан парадокс дня рождения, конечно.

Возможно, хорошим примером (непосредственно не связанным с вычислительной сложностью) является универсальность Тьюринга простых вычислительных моделей.

Например, правило 110 эффективно (слабо) универсально:

Учитывая (бесконечный) массив из 0-1 (бело-черных) ячеек, правильно инициализированных и простых правил замещения:

у нас есть «рабочий компьютер»! :-)

Для определения «слабых» и «эффективных», а также для других примеров простых универсальных машин Тьюринга посмотрите: Turlough Neary, Damien Woods; Сложность маленьких универсальных машин Тьюринга: обзор .

Другим удивительным примером является полнота по Тьюрингу «языка программирования» FRACTRAN :

• «Программа» представляет собой список фракций: $(p_1/q_1, p_2/q_2,..., p_n/q_n)$;
• учитывая вход $n$ найти первый $q_i$ это делит $n$ и заменить $n \leftarrow n \cdot \frac{p_i}{q_i}$;
• повторять предыдущий шаг, пока нет $q_i$ водоразделы $n$,

С подходящей кодировкой ввода $n$FRACTRAN может моделировать любую машину Тьюринга.

Вы также можете использовать другие модели, такие как системы циклических тегов, муравьи-автоматы ...
Не столь интуитивная идея заключается в том, что "вычисления" скрыты почти везде ... Вольфрам написал 1192 страницы, заполненных рисунками и текстом, чтобы лучше выразить эту идею в своем «Новом виде науки» (да ... да ... несмотря на некоторые критические рецензии, я наконец-то купил печатную копию :-)

Несколько хороших кандидатов с моей головы:

• Каждый NFA имеет эквивалентный DFA

• Существует конечное поле размера $p$ или $p^i$ где $i \in \mathbb{N}$ и $i > 0$,

• Криптография с открытым ключом

  • Вызов функции с зашифрованными аргументами и получение желаемого результата без раскрытия информации о ваших входных данных

  • RSA-шифрование

• Коды Рида-Соломона

• счетности

  • $|\mathbb{N}| = |\mathbb{Z}| = |\mathbb{N} \times \mathbb{N}| = |\mathbb{Q}|$

  • Набор элементов в языке $\{0,1\}^*$ исчисляется, но $\mathbb{R}$ неисчислимо (диагонализация Кантора)

  • Теорема Кантора: $|S| < |\mathcal{P}(S)|$

• На более философском уровне меня поразило, что машины Тьюринга точно определяют вычисления