Какие монотонные булевы функции представляются в виде пороговых сумм?

Я представлю свою проблему на примере. Скажем, вы разрабатываете экзамен, который состоит из определенного набора независимых вопросов (которые кандидаты могут получить как правильно, так и неправильно). Вы хотите принять решение о балле, который нужно дать для каждого из вопросов, при этом правило состоит в том, что кандидаты с общим баллом выше определенного порога пройдут, а остальные не пройдут. $n$

На самом деле, вы очень внимательно относитесь к этому, и вы предвидели все возможные результаты $2^n$ , и решили для каждого из них, должен ли кандидат с таким показом пройти или не сдать. Таким образом, у вас есть булева функция $f : \{0, 1\}^n \to \{0, 1\}$ которая указывает, должен ли кандидат пройти или потерпеть неудачу в зависимости от его точных ответов. Конечно, эта функция должна быть монотонной : если правильный набор вопросов заставляет вас пройти, то и любой правильный набор супернабора также должен вас пропускать.

Можете ли вы принять решение о баллах (положительных действительных числах) для вопросов и о пороге, чтобы ваша функция $f$ точно отражалась правилом «кандидат проходит, если сумма баллов за правильные вопросы превышает порог» ? (Конечно, порог можно принять равным 1 без потери общности, вплоть до умножения баллов на константу.)

Формально: существует ли характеристика монотонных булевых функций $f: \{0, 1\}^n \to \{0, 1\}$ для которых существуют такие $w_1, \ldots, w_n \in \mathbb{R}_+$ , что для всех , мы имеем тогда и только тогда, когда ? $v \in \{0, 1\}^n$ $f(v) = 1$ $\sum_i w_i v_i \geq 1$

Нетрудно понять, что не все функции могут быть представлены таким образом. Например, функция не может: поскольку принято, мы должны иметь , поэтому один из должен быть , а также для . Теперь, если это, например, и , у нас есть противоречие, потому что но отклонено; другие случаи аналогичны. $(x_1 \wedge x_2) \vee (x_3 \wedge x_4)$ $(1, 1, 0, 0)$ $w_1 + w_2 \geq 1$ $w_1, w_2$ $\geq 1/2$ $w_3, w_4$ $w_1$ $w_3$ $w_1 + w_3 \geq 1$ $(1, 0, 1, 0)$

Это выглядит для меня как очень естественная проблема, поэтому мой главный вопрос - узнать, под каким именем это изучалось. Запрашиваемая «характеристика», конечно, неопределенна; Мой вопрос заключается в том, чтобы знать, имеет ли класс функций, которые могут быть представлены таким образом, имя, что известно о сложности проверки, принадлежит ли ему функция ввода (заданная в виде формулы или схемы) и т. д.

Конечно, можно думать о многих вариациях на эту тему. Например, на реальных экзаменах вопросы не являются независимыми, но существует DAG по вопросам, указывающим на зависимость, и кандидаты могут ответить на вопрос, только если были выполнены все предварительные условия. Условие для монотонных функций затем может быть ограничено значениями в которые удовлетворяют зависимостям, и вопрос заключается в том, чтобы определить, можно ли таким образом захватить входную функцию, учитывая входную группу DAG для переменных. Можно также подумать о вариантах, где оценки являются кортежами для фиксированного (суммируются по точкам и сравниваются по точкам с пороговым вектором), которые могут захватывать больше функций, чем $\{0, 1\}^n$ $k$ $k$ . В качестве альтернативы вы можете использовать более выразительные функции, которые не являются булевыми, а идут в полностью упорядоченном домене с различными пороговыми значениями, которые должны указывать вашу позицию в домене. Наконец, я не уверен, что произойдет, если вы допустите отрицательные оценки (так что вы можете отменить монотонное ограничение для функций). $k = 1$

(Примечание: что заставило меня задуматься об этом, так это раунд выбора Google Code Jam, где кандидаты отбираются, если они достигают определенного порогового значения, и оценки проблем, по-видимому, тщательно продуманы, чтобы отразить, какие наборы проблем считаются достаточными для отбора. Code Jam имеет структуру зависимости от вопросов, с некоторыми вопросами "большого ввода", которые не могут быть решены, если вы сначала не решили вопрос "small input".)

reference-request boolean-functions

— a3nm
источник

Они известны как пороговые функции (хотя этот термин иногда определяется более ограничительно). Я не знаю, есть ли существенно другая характеристика. Очевидным необходимым условием является то, что

являются выпуклыми (то есть выпуклая оболочка

пересекаемая с

, включена в

и аналогично для 0).

f^{- 1} (1)

$f^{-1}(1)$

f^{- 1} (0)

$f^{-1}(0)$

f^{- 1} (1)

$f^{-1}(1)$

{0, 1}^{n}

$\{0,1\}^n$

f^{- 1} (1)

$f^{-1}(1)$

— Эмиль Йержабек поддерживает Монику

На самом деле, теперь, когда я думаю об этом: булева функция

является пороговой функцией, если выпуклые оболочки

не пересекаются.

f

$f$

f^{- 1} (1)

$f^{-1}(1)$

f^{- 1} (0)

$f^{-1}(0)$

— Эмиль Йержабек поддерживает Монику

На самом деле это точные положительные пороговые функции.

— Кристоффер Арнсфельт Хансен

@KristofferArnsfeltHansen: Точно, спасибо! Фактически это упоминается в булевых функциях: теория, алгоритмы и приложения . Теорема 9.16 говорит, что при положительном DNF мы можем в PTIME проверить, является ли она пороговой функцией, и если да, построить вектор

(который, я думаю, будет положительным по теореме 9.6). Что-нибудь известно о предложенных мною вариантах, особенно вариант с DAG для переменных? Если нет, вы можете сделать ответ, который говорит так (и включает ваш комментарий), и я приму его. :)

w

$\mathbf{w}$

— a3nm

В комментариях упоминалось, что это положительные пороговые функции.

Что касается других характеристик, я нашел следующее интересным. Предположим, что у нас есть положительная пороговая функция с уменьшением веса : $w_1\ge w_2\ge\dots w_n$ Тогдав частностимножество входовдля которыхпредставляет собой порядковый идеал двоичного мажорации решетки сточек, который является учился в

е (v_{1}, ..., v_{N}) знак равно 1 ⟺ \underset{я}{Σ} {вес}_{я} v_{я} \geq 1.

$f(v_1,\dots,v_n)=1 \iff \sum_i w_iv_i\ge 1.$

(v_{1}, \dots, v_{n})

$(v_1,\dots,v_n)$

f (\vec{v}) = 1

$f(\vec v)=1$

2^{n}

$2^n$

Дональд Кнут, «Искусство компьютерного программирования», упражнение 109 раздела 7.1.1.

Говоря неформально, - это тип функции, где создание более ранних битов 1 делает более вероятным равным 1: так, например, . То есть «некоторые биты имеют значение больше», и для устранения избыточных изоморфных случаев мы предполагаем, что более ранние биты имеют значение больше. $f$ $f$ $f(0,1,1)\le f(1,0,1)\le f(1,1,0)$

Однако не все такие функции являются положительными пороговыми функциями! То есть то, что вы заказали экзаменационные вопросы от самых важных к наименьшим, не означает, что ваше правило сдачи / неудачи основано на суммировании нескольких баллов.

Действительно, число положительных пороговых функций (с уменьшающимися весами) по переменным задается последовательностью (oeis.org sequence A000617 ), тогда как число таких идеалов порядка равно (oeis.org sequence A132183 ) $n$

2, 3, 5, 10, 27, 119, 1113, ...

$2,3,5,10,27,119,\mathbf{1113},\dots$

2, 3, 5, 10, 27, 119, 1173, ...

$2,3,5,10,27,119,\mathbf{1173},\dots$

— Бьёрн Кьос-Хансен
источник

Благодарность! Просто подумал, что могу указать, что другие виды булевых функций, упомянутых в вашем ответе, те, которые имеют полный порядок влияния переменных, называются «обычными» булевыми функциями. Это упоминается в последовательности A132183, и такие функции изучаются в главе 8 Булевых функций: теория, алгоритмы и приложения

— a3nm