Когда график допускает ориентацию, в которой не более одного шага?

Рассмотрим следующую проблему:

Вход: простой (неориентированный) граф$G=(V,E)$ .

Вопрос: существует ли ориентация удовлетворяющая свойству того, что для каждого существует не более одного (направленного) - шага?$G$$s,t \in V$$s$$t$

Это может быть эквивалентно сформулировано как:

Вход: простой (неориентированный) граф .$G=(V,E)$

Вопрос: существует ли ациклическая ориентация удовлетворяющая свойству того, что для каждого существует не более одного (направленного) - пути?$G$$s,t \in V$$s$$t$

Для какого класса графиков ответ «да»? Можно ли решить эту проблему за полиномиальное время?

Некоторые наблюдения:

1. Если график является двудольным, то ответ «да».
2. Если график имеет треугольник, то ответ «нет».

Первое наблюдение следует, ориентируя края от одного раздела к другому. Второе наблюдение легко проверить. Это привело меня к двум неверным догадкам:

1. Ответ «да», если и только если график является двудольным. (контрпример: 5-тактный)
2. Ответ «да» тогда и только тогда, когда граф не содержит треугольников (контрпример: декартово произведение ребра с 5-циклом)

Он NP-завершен за счет сокращения не от всех равных 3SAT. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что

• Единственная действительная ориентация $4$-циклом является тот, в котором ребра чередуются ориентации.
• Позволять $P$ быть ненаправленным путем с тремя ребрами и добавить вершину степени два, смежную с конечными точками $P$ сформировать $5$-цикл. Тогда единственные ориентации$P$ которые могут быть распространены на действительные ориентации всего $5$-циклы те, в которых $P$ не всегда ориентирован как направленный путь.

Формируем переменную гаджет для переменной $v$ что принадлежит $k$ различные пункты экземпляра NAE-3SAT путем склеивания $k$ общий $4$-циклы на общем краю. Тогда в каждом из$4$-циклы, противоположный край к общему краю должен быть ориентирован согласованно со всеми остальными $4$-циклов. Мы свяжем истинное значение переменной с этой последовательной ориентацией этих ребер. Кроме того, в любой действительной ориентации каждого из этих$4$-циклы, нет пути от одного $4$-цикл в другой $4$- цикл, поэтому эти гаджеты могут взаимодействовать друг с другом только в направлении их краев, а не благодаря наличию более длинных путей.

Мы формируем гаджет предложения для предложения с 3 переменными экземпляра NAE-3SAT, склеив три $4$-циклы ребер, напротив общих ребер соответствующих трех переменных гаджетов, в 3-реберный путь $P$ а затем добавление вершины второй степени для завершения $P$ в $5$-цикл. Как обсуждалось выше, это$5$-цикл может быть последовательно ориентирован, если и только если его три ребра не все ориентированы как направленный путь, что (при правильном склеивании) истинно тогда и только тогда, когда значения истинности, связанные с этими ориентациями, не равны.

Кстати, DAGS с максимум одним $s$-$t$ ходить для каждого $s$-$t$пара была изучена ранее, как «мультидерево», «сильно однозначные графы» или «мангровые заросли»; см. https://en.wikipedia.org/wiki/Multitree