О дерандомизированном тестировании полиномиальной идентичности

В тестировании тождества полиномов мы ищем детерминированный алгоритм, чтобы вывести равенство двух полиномов . Дерандомизация известных эффективных рандомизированных алгоритмов и создание эффективного детерминированного алгоритма является важной открытой проблемой. Есть ли полная проблема для PIT, так что дерандомизированное тестирование идентичности для этого одного класса полиномов решает эту открытую проблему? Если нет, существуют ли классы полиномов, где эта проблема решена, и классы, где они открыты?$g,h\in\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$

[tl;dr] Много известно, и это очень активная область! [/tl;dr]

Важно указать представление входных полиномов, так как если они заданы в виде списков коэффициентов или ненулевых мономов, задача тривиальна. Таким образом, обычно предполагается, что многочлены задаются как арифметические схемы (так называемые прямолинейные программы). И общий случай фактически сводится к проверке, является ли данный полином нулевым полиномом.

Есть две основные настройки, которые были изучены: случай «белого ящика», в котором один имеет арифметическую схему и может его осмотреть, и случай «черного ящика», в котором кто-то знает о схеме (размер, формальная степень, ...), но не может проверить его, оценить только по некоторым значениям.

Вот некоторые из ограничений на схемы, которые были изучены:

• Ограниченная глубина. Глубина контура - это самый длинный путь от входа до выходного затвора. Тестирование схем глубины$2$$3$$4$$3$$4$
• Верхний / нижний разветвление: Для цепей с ограниченной глубиной было доказано много результатов, когда разветвление (или арность, то есть количество входов в данный затвор) либо верхнего затвора, либо нижнего затвора ограничено.
• Также были изучены другие ограничения, такие как ограничение количества использований переменной.

Этот опрос, проведенный Nitin Saxena, является хорошим источником для этих результатов. Обратите внимание, что ему уже больше года (!), И это очень активная область. Таким образом, самые последние результаты не покрыты.

Наконец, есть связь между дерандомизацией PIT и дерандомизацией других проблем:

• Нормализующая лемма Нетера , Кетан Д. Малмулей;
• Многовариантная полиномиальная факторизация. Авторы: Свастик Коппарти, Шубханги Сараф и Амир Шпилка.