Простой путь на даге с задними краями

Какова сложность следующей задачи ( P? NP-hard?): $\in$

Входные данные: направленный ациклический граф , множество обратных ребер и два отдельных узла и . $D=(V,E)$ $E'\subset V\times V$ $s$ $t$

Вопрос: Пусть обозначает граф, образованный добавлением к ребер из . Существует ли простой путь от до в который использует хотя бы один обратный край? $G=(V,E\cup E')$ $D$ $E'$ $s$ $t$ $G$

Примечание: 0) Простой путь - это путь, в котором ни одна вершина не повторяется. Обратное ребро - это ребро, которое противоречит частичному порядку, подразумеваемому DAG. 1) проблема проста, если мы просим простой путь использовать ровно одно обратное ребро (или постоянное число) путем тривиальной редукции к проблеме непересекающихся путей, которая допускает простое решение PTime в DAG ( Perl and Shiloach, JACM'78 ) 2) проблема непересекающихся путей является NP-полной в общих графах ( Fortune et al., TCS'80 ).

graph-algorithms time-complexity disjoint-paths

— Джозеф Стэк
источник

Это, безусловно, не оптимально, но этого достаточно, чтобы показать, что ваша проблема в P (если я что-то не так понял): пусть - ребра ; применить алгоритм кратчайшего пути от к к графу для . Другими словами, продолжайте добавлять ребро, выбранное из в граф пока не найдете путь от до .

e_{1}, . . ., e_{m}

$e_1,...,e_m$

E

$E$

s

$s$

t

$t$

G_{i} = (V, E^{'} \cup ⋃_{j = 1}^{i} {e_{j}})

$G_i = (V, E' \cup \bigcup_{j=1}^i \{ e_j \} )$

i = 1, 2, . . ., m

$i = 1,2,...,m$

E

$E$

G^{'} = (V, E^{'})

$G' = (V, E')$

s

$s$

t

$t$

— Марцио Де Биаси,

Марцио: но что, если путь, который вы найдете, использует только ребра в , и ни одного в ? Еще может существовать другой путь, который также включает край .

E

$E$

E^{'}

$E'$

E^{'}

$E'$

— Дэвид Эппштейн

Что очень раздражает в вашей проблеме, так это то, что следующая связанная с ней проблема легко представляется NP-трудной: с помощью графа и двух пар вершин (s, t), (s ', t') определить, есть ли вершина-дизъюнкт пути от s к t и от s 'к t', даже когда t = s ', и даже на графах, которые являются объединением двух DAG. Тем не менее, это, кажется, не помогает для вопроса, который вы задаете.

— 3

Проблема непересекающихся путей - трудная задача W [1] даже на DAG, и это домашняя работа, чтобы показать, что в DAG это NP-Hard. Алгоритм Шилоаха предназначен для задачи о двух непересекающихся путях и в некоторой степени аналогичным образом работает для проблемы k непересекающихся путей в DAG, но требует времени n ^ k. Но, по крайней мере, допускает алгоритм XP для вашей проблемы.

— Саид