Сложность поиска версии 2-SAT при условии

Если , то существует алгоритм пространства журнала, который решает версию решения 2-SAT. $\mathsf{L = NL}$

Известно ли, что подразумевает наличие алгоритма логического пространства для получения удовлетворительного назначения , когда в качестве входных данных предоставляется удовлетворительный экземпляр 2-SAT? $\mathsf{L = NL}$
Если нет, то как насчет алгоритмов, которые используют сублинейное пространство (в количестве пунктов)?

sat search-problem logspace

Учитывая выполнимое 2-CNF , вы можете вычислить конкретное удовлетворяющее назначение с помощью NL-функции (то есть существует предикат NL который сообщает вам, верно ли ). Один из способов сделать это описан ниже. Я буду свободно использовать тот факт, что NL замкнут относительно -редукций, поэтому NL-функции замкнуты относительно композиции; это является следствием NL = coNL. $\phi$ $e$ $P(\phi,i)$ $e(x_i)$ $\mathrm{AC}^0$

Пусть выполнимая 2-CNF. Для любого литерала , пусть будет числом литералов, достижимых из по направленному пути в графе импликации , и числом литералов, из которых достижим . Оба вычислимы в NL. $\phi(x_1,\dots,x_n)$ $a$ $a^\to$ $a$ $\phi$ $\let\ot\leftarrow a^\ot$ $a$

Заметим , что и , из - за кососимметричности импликации графа. Определите назначение так, чтобы $\let\ob\overline \ob a^\to=a^\ot$ $\ob a^\ot=a^\to$ $e$

если , то ; $a^\ot>a^\to$ $e(a)=1$
если , то ; $a^\ot<a^\to$ $e(a)=0$
если , пусть быть минимальным , так что или появляюсь в сильно связной компоненте (он не может быть одновременно, так как выполнима). Положите если появляется , и противном случае. $a^\ot=a^\to$ $i$ $x_i$ $\ob x_i$ $a$ $\phi$ $e(a)=1$ $x_i$ $e(a)=0$

Кососимметричность графы следует , что , следовательно , это четко определенное назначение. Более того, для любого ребра в графе импликации: $e(\ob a)=\ob{e(a)}$ $a\to b$

Если не достижимо от , то и . Таким образом, влечет . $a$ $b$ $a^\ot<b^\ot$ $a^\to>b^\to$ $e(a)=1$ $e(b)=1$
В противном случае и находятся в одной и той же сильно связной компоненте, а , . Таким образом, . $a$ $b$ $a^\ot=b^\ot$ $a^\to=b^\to$ $e(a)=e(b)$

Отсюда следует, что . $e(\phi)=1$

— Эмиль Йержабек поддерживает Монику
источник

Это приятно! Есть ли ссылка?

— Райан Уильямс

Я только что приготовил это, так что я не знаю, но это выглядит достаточно легко для кого-то, чтобы наблюдать это раньше. Мое вдохновение было аргументом, что топологическая сортировка частичных заказов может быть сделана в TC ^ 0, следовательно ts ациклических графов в NL; Это положительно, но в данный момент я не нахожусь в офисе, поэтому мне трудно это искать.

— Эмиль Йержабек поддерживает Монику

Результат того, что удовлетворяющие назначения могут быть вычислены в FNL, появляется с другим аргументом в Cook, Kolokolova: теория второго порядка для NL, и с немного большим количеством деталей в Cook, Nguyen: логические основы сложности доказательства. Однако, признаюсь, я не могу понять, как это должно работать. Насколько я могу судить, свойство (307), оставленное в качестве упражнения для читателя в книге C & N, просто ложно.

— Эмиль Йержабек поддерживает Монику