Насколько быстрым должен быть недетерминированный алгоритм для полной задачи EXPTIME, чтобы подразумевать

Насколько быстрым должен быть недетерминированный алгоритм для полной задачи EXPTIME, чтобы подразумевать $P \neq NP$ ? Недетерминирован алгоритм полиномиальное время будет немедленно следует это потому , что $P \neq EXPTIME$ , но никто не считает , $NP = EXPTIME$ . Если бы я сделал алгебру правильно (см. Ниже), теорема иерархии времени все равно дала бы значение $P \neq NP$ для $O(2^n/f(n))$ время выполнения для любого суперполинома $f(\cdot)$ , но для всех, кого я знаю, есть полные проблемы с эффективными сокращениями, которые позволяют более медленным алгоритмам давать результат. Существуют ли EXPTIME-полные проблемы, когда мы знаем что-то вроде $2^n/n$ или $2^n/n^2$ с недетерминизмом достаточно?

Уточнение «алгебры»: $P = NP$ подразумевает $EXPTIME=NEXPTIME$ аргументом заполнения, поэтому недетерминированный алгоритм $2^n/f(n)$ для задачи, полной EXPTIME также будет один для NEXPTIME-полной проблемы. Для суперполинома $f(\cdot)$ это противоречило бы недетерминированной теореме иерархии времени, так как мы могли бы уменьшить, используя некоторый $L \in$ NTIME $(2^n)$ .

cc.complexity-theory

— анонимное
источник

Я думаю, что вам действительно нужно время выполнения

2no(1) $2^{n^{o(1)}}$ чтобы получить противоречие из теоремы иерархии времени. Также я думаю, что это звучит довольно маловероятно.

— Сашо Николов

Просто для повторения вопроса: какой самый большой

f $f$ где ExpTime

⊆ $\subseteq$ NTime

(f(n)) $(f(n))$ подразумевает NP

⊈ $\not\subseteq$ P?

— Каве

PS: если вы зарегистрируете учетную запись, вы можете редактировать свой вопрос более легко.

— Каве

Я считаю, что Сашо прав, если

такой, что

является

-полным, а

-полным и

сводится к

за время

, тогда все еще возможно, что

ЕИкспТяMЕ= NЕИкспТяMЕ $EXPTIME=NEXPTIME$

L $L$

ЕИкспТяMЕ $EXPTIME$

L' $L'$

NЕИкспТяMЕ $NEXPTIME$

L' $L'$

L $L$

O ( nК) $O(n^k)$

без какого-либо противоречия, поскольку экземпляр

может быть на

больше, чем

. L ∈ NТяMЕ( 2N√К) $L \in NTIME(2^{\sqrt[k]{n}})$

L $L$

O ( nК) $O(n^k)$

L' $L'$

— Джо Бебель

Ответы:

Я думаю, что это легче перевернуть.

Если , то для некоторой константы и любого . Поскольку не содержит $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $\mathsf{NTIME}(T(n)) \subset \mathsf{DTIME} ((T(n))^c)$ $c$ $T(n) > n$ $\mathsf{DTIME} ((T(n)^c)$ , это означает, что мы не можем решить, скажем, все проблемы в в для некоторого $\mathsf{DTIME}(T(n)^{c}\log T(n)) \subset \mathsf{DTIME}(T(n)^{c+1})$ $\mathsf{DTIME}(2^n)$ $\mathsf{NTIME} (2^{\epsilon n})$ $\epsilon$ , Таким образом , не-детерминированным времени алгоритм для задачи полной для при квазилинейных сокращений будет достаточно , чтобы доказать . $2^{o(n)}$ $\mathsf{DTIME} (2^n)$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

— Рассел Импальяццо
источник

Спасибо, что нашли время , чтобы обеспечить сжатое объяснение того , почему

означает

. DTIME(2n)⊆NTIME(2o(n)) $DTIME(2^n) \subseteq NTIME(2^{o(n)})$

P≠NP $P \neq NP$

— Майкл Вехар

И, спасибо за то, что указали, что может быть использована либо теорема детерминированной, либо недетерминированной иерархии времени. :)

— Майкл Вехар

Простой ответ: Для каждой задачи - существует некоторая постоянная такая, что если бы мы могли решить задачу в $EXPTIME$ $hard$ $c$ , то. $NTIME(2^{o(n^{\frac{1}{c}})})$ $P \neq NP$

Примечание. Константа исходит от увеличения размера экземпляра, которое является результатом сокращений. $c$

Основание: Пусть обозначают - проблем. Это означает , что каждая проблема в является многочленом время сводится к . На самом деле, мы можем показать больше. $X$ $EXPTIME$ $hard$ $EXPTIME$ $X$

Задача принятия для ограниченных по времени детерминированных машин Тьюринга находится в и, следовательно, сводится к полиномиальное время . $2^n$ $DTIME(n \cdot 2^n) \subseteq EXPTIME$ $X$

Следовательно, должна быть некоторая фиксированная константа такая, что каждая задача в сводится за полиномиальное время к где увеличение размера экземпляра равно . То есть, экземпляры размера п сводятся к случаям размера для . $c$ $DTIME(2^n)$ $X$ $O(n^c)$ $O(n^c)$ $X$

Теперь, если бы мы имели , то. Однако это подразумевает(подробности см. Ниже). $X \in NTIME(2^{o(n^{\frac{1}{c}})})$ $DTIME(2^n) \subseteq NTIME(2^{o(n)})$ $P \neq NP$

Дополнительные подробности: Можно показать , что . $P=NP$ $\Leftrightarrow$ $\exists c^{\prime}$ $\forall k$ $NTIME(n^k) \subseteq DTIME(n^{c^{\prime}k})$

Другими слова, если вы можете решить - задачи за полиномиальное время, то существует единый способ ускорения любой проблемы в . $NP$ $complete$ $NP$

Теперь, давайте предположим , что . По предыдущему (с = 1) мы получаем постоянную такую, что $P=NP$ $k$ $c^{\prime}$

N T I M E (n) \subseteq D T I M E (n c') .

$NTIME(n) \subseteq DTIME(n^{c^{\prime}}).$

Затем мы можем использовать заполнение, чтобы увеличить это включение и получить

N T I M E (2 n) \subseteq D T I M E (2 c' n) .

$NTIME(2^{n}) \subseteq DTIME(2^{c^{\prime}n}).$

Тогда по теореме детерминированной иерархии времени имеем для любого .

N T I M E (2 n) \subseteq D T I M E (2 c' n) ⊊ D T I M E (2 (c' + ϵ) n)

$NTIME(2^{n}) \subseteq DTIME(2^{c^{\prime}n}) \subsetneq DTIME(2^{(c^{\prime}+\epsilon)n})$

ϵ>0 $\epsilon > 0$

Следовательно, мы не можем иметь $DTIME(2^{(c^{\prime}+\epsilon)n}) \subseteq NTIME(2^{n}).$

Кроме того, мы не могли бы иметь потому что при заполнении мы получили бы . $DTIME(2^{n}) \subseteq NTIME(2^{o(n)})$ $DTIME(2^{(c^{\prime}+\epsilon)n}) \subseteq NTIME(2^{o(n)})$

Далее Вопрос: Есть ли какие - либо простые примеры - проблем , где мы можем легко определить размер экземпляра раздутие постоянной ? $EXPTIME$ $complete$ $c$

— Майкл Вехар
источник

Проблема принятия для

представляет собой

-полной, то есть, язык

, состоящие из DTMS

, что на вход

принять в течение

шагов, потому что каждый язык

имеет некоторыеDTIME(2n) $DTIME(2^n)$

EXPTIME $EXPTIME$

L={⟨T,x,1m⟩} $L = \{\langle T, x, 1^m \rangle\}$

T $T$

x $x$

2m $2^m$

L′∈EXPTIME $L' \in EXPTIME$

, который принимает

во время

для некоторых

, так что правильный выбор

уменьшает

. В частностиконстанта (

)товидимо, показываетчто ускорение (то есть,

) должно быть экспоненциальнымесли показать

T $T$

x∈L′ $x \in L'$

2O(|x|k)) $2^{O(|x|^k)})$

k $k$

m=O(|x|k) $m = O(|x|^k)$

L′ $L'$

L $L$

c=1 $c=1$

f(n) $f(n)$

P≠NP $P \ne NP$ , если вы выберете этот конкретный

-комплектный язык. EXPTIME $EXPTIME$

— Джо Бебель

@JoeBebel Привет, Джо, спасибо за комментарий. Я думаю , что это ценно , что вы в дальнейшем рассматривать эту проблему

. Здесь мы можем больше , чем просто сказать ,

означает

. Для этой конкретной искусственной задачи

мы можем сказать что-то подобное для любого

L $L$

$L \in NTIME(2^{o(n)})$

$P \neq NP$

$L$

$k$

влечет

для всех

. $L \in NTIME(2^{\frac{n}{k}})$

$NTIME(n) \nsubseteq DTIME(n^{k-\epsilon})$

$\epsilon > 0$

— Майкл Вехар