Выше #P и подсчета поисковых проблем

Я читал статью в Википедии о проблеме восьми королев. Установлено, что не существует известной формулы для точного числа решений. После некоторых поисков я нашел статью под названием «О сложности подсчета проблем полных отображений». В этой статье есть проблема, показанная не более, чем #queens, которая выходит за пределы #P. Если взглянуть на числа #queens, которые в статье в Википедии исчерпывающе подсчитаны, они кажутся в значительной степени супер экспоненциальными.

Я хочу спросить, есть ли имя для этого класса или вообще есть ли проблемы с подсчетом, принадлежащие классам выше #P (с решением не в PSPACE, конечно, потому что это было бы очевидно).

Наконец, я хочу спросить, есть ли какие-либо другие известные результаты для других проблем поиска, таких как, например, нахождение трехцветной точки в лемме Спернера (PPAD complete).

Если функция f находится в #P, то при заданной входной строке x некоторой длины N значение f (x) является неотрицательным числом, ограниченным . (Это следует из определения с точки зрения количества принимающих путей верификатора NP.)$2^{poly(N)}$

Это означает , что многие функции F лежат вне #P для неинтересных причин --- либо потому , что е является отрицательным, или, в случае , если вы упоминаете, потому что функция растет быстрее , чем . Но для проблемы n- kens, смоделированной в статье, это всего лишь артефакт решения авторов о том, что входное значение n должно быть закодировано в двоичном виде. Если ожидаемым вводом была одинарная строка 1 n , то$2^{poly(N)}$$n$$n$$1^n$ (число действительных$f(1^n) :=$$n$-queen конфигурации), безусловно, будет в #P, с помощью простого верификатора NP, который проверяет правильность данной конфигурации.

Если вы хотите изучить некоторые функции, которые (предположительно) лежат за пределами #P по более интересным причинам, рассмотрите, например, эти:

• UNSAT: если ψ - неудовлетворительная булева формула, в противном случае f ( ψ ) : = $f(\psi) := 1$$\psi$$f(\psi) := 0$ . Эта функция отсутствует в #P, если только NP = coNP. Вероятно, это не относится к более общему классу подсчета GapP; то есть UNSAT, вероятно, не является разницей f - g двух функций #P. Однако он заключается в более общем классе сложности счета , который фактически содержит всю полиномиальную иерархию по теореме Тоды.$P^{\# P}$

Вам может не понравиться этот пример, потому что это не естественная «проблема подсчета». Но следующие два будут:

• количество назначений для x, такое, что булева формула ψ ( x , ⋅ ) выполнима для некоторого значения y .$f(\psi(x, y)) :=$$x$$\psi(x, \cdot)$$y$

• число x такое, что, по крайней мере, для половины всех y , ψ ( $f(\psi(x, y)) :=$$x$$y$ .$\psi(x, y) = 1$

Последние две проблемы, как известно, не являются эффективно вычисляемыми даже при доступе оракула к #P. Тем не менее, они вычислимы в рамках так называемой «иерархии подсчета». Для некоторых более естественных проблем, классифицированных в этом классе, см., Например, эту недавнюю статью.

Подсчет равновесий по Нэшу, по-видимому, очень сложен, смотрите здесь . Кроме того, даже проблемы, в которых проблема поиска проста, трудно подсчитать, например, подсчет идеальных совпадений.

$\#PSPACE$$\#EXPTIME$

Сложность моделей подсчета линейной временной темпоральной логики Хазема Торфа, Мартина Циммермана