Достаточно ли отсортировать полиномиально много последовательностей 0-1 для сортировочной сети?

Принцип 0-1 говорит, что если сеть сортировки работает для всех последовательностей 0-1, то она работает для любого набора чисел. Существует ли такое, что если сеть сортирует каждую последовательность 0-1 из S, то она сортирует каждую последовательность 0-1, а размер является полиномиальным по ? $S\subset \{0,1\}^n$ $S$ $n$

Например, если состоит из всех последовательностей, в которых не более серий (интервалов) из 1, то существует ли сортирующая сеть N и последовательность, которая не упорядочена по N, если все члены упорядочены по N? $S$ $2$ $S$

Ответ. Как видно из ответа и комментариев к нему, ответ заключается в том, что для каждой несортированной строки существует сеть сортировки, которая сортирует все остальные строки. Простое доказательство этого заключается в следующем. Пусть строка такова, что для всех и . Поскольку не отсортировано, после сортировки должно быть . Сравните с каждым для которого $s=s_1\ldots s_n$ $s_i=0$ $i<k$ $s_k=1$ $s$ $s_k$ $0$ $k$ $i$ . Затем сравните каждую пару , чтобы и много раз. Это оставляет всю строку отсортированной, за исключением, возможно, , который неотсортировандля , и для некоторых других строк, которые имеют больше , чем . Теперь сравните для до за исключением места, где должно идти в . Это будет сортировать все, кроме . $s_i=1$ $(i,j)$ $i\ne k$ $j\ne k$ $s_k$ $s$ $1$ $s$ $s_k$ $i=n$ $1$ $s_k$ $s$ $s$

Обновление: интересно, что произойдет, если мы ограничим глубину сети . $O(\log n)$

ds.algorithms sorting sorting-network

— domotorp
источник

Кажется , что возможно вы должны ограничить размер сортировочной сети , чтобы быть меньше , чем размер

. Иначе, разве сеть не может просто проверить, является ли вход одним из элементов

и действовать правильно, если так, иначе действовать неправильно?

S

$S$

S

$S$

— усуль

@usul: Я не думаю, что сортировочная сеть может проверить такую вещь. Во всяком случае, естественно работать с сетями сортировки, чей размер полиномиален по

n

$n$

— Домоторп

Кажется нет. Ян Парберри ссылается на статью Чанга и Равикумара, где они предположительно дают рекурсивное построение сортировочной сети, которая сортирует каждую цепочку битов, кроме одной, и далее выводят, что проблема проверки сортировочной сети - завершена. Я не могу сразу найти оригинал, но, конечно, он соответствует (моей) интуиции. $co$ $NP$

Изменить, чтобы добавить: На самом деле очень легко найти такую сеть, которая пропускает ровно одну строку. Пропущенная строка будет . Теперь вам просто нужна схема, которая сортирует последние бит, а затем сортирует первые бит. Эта схема будет сортировать что-либо по крайней мере с двумя с, очевидно, будет сортировать строку со всеми нулями и будет сортировать любую строку, начинающуюся с . $(1,0,\ldots,0)$ $n-1$ $n-1$ $1$ $0$

— Эндрю Д. Кинг
источник

Может ли примерная сеть сортировки в вашем ответе быть обобщенной, чтобы для любой заданной строки вы могли построить сеть сортировки, которая будет неправильно сортировать эту строку? Вы показываете, как сделать это для одной конкретной строки, но как насчет других строк?

— DW

Вы определенно можете сделать это для любой строки весом

или

, но я сомневаюсь, что можно пропустить одну произвольную цепочку битов.

1

$1$

n - 1

$n-1$

— Эндрю Д. Кинг

Хорошо, я не вижу, как ваш ответ показывает, что ответ "Нет". Конструкция во втором абзаце вашего ответа не подразумевает отрицательного ответа на исходный вопрос, поскольку имеется только многочлен много строк с массой

или

. Кажется, что вся работа в вашем ответе выполняется ссылкой в статье Ian Parberry, но это предложение в статье Parberry довольно расплывчато, и без чтения статьи Chung et al. Я не вижу, как мы можем сделать вывод, что ответ на вопрос «нет».

1

$1$

n - 1

$n-1$

— DW

Еще один вопрос: « Сильное недетерминированное сокращение Тьюринга - метод доказательства неразрешимости » (Chung & Ravikumar) перечисляет в лемме 2.1 следующее: для любой несортированной строки

существует сеть сортировки полиномиального размера, которая сортирует все строки правильно, кроме

, В качестве доказательства он ссылается на «О размере тестовых наборов для сортировки и связанных с этим проблем» (Chung & Ravikumar), но я не могу найти копию последней статьи. Это действительно означает, что ответом на этот вопрос является «Нет».

x

$x$

x

$x$

— DW

— Газета