Проблемы с большими открытыми пробелами в сложности

Этот вопрос касается проблем, для которых существует большой открытый разрыв сложности между известной нижней границей и верхней границей, но не из-за открытых проблем самих классов сложности.

Чтобы быть более точным, скажем, у проблемы есть классы промежутков $A,B$ (с , не определенным однозначно), если - максимальный класс, для которого мы можем доказать, что это жесткий, а - минимальный известный верхний связаны, т.е. у нас есть алгоритм в решающий задачу. Это означает, что если мы в конечном итоге обнаружим, что задача полна с , это не повлияет на теорию сложности в целом, в отличие от поиска алгоритма для полной задачи.A A B B C A ⊆ C ⊆ B P N $A\subseteq B$$A$$A$$B$$B$$C$$A\subseteq C\subseteq B$$P$$NP$

Меня не интересуют проблемы с и , потому что это уже объект этого вопроса .B = N $A\subseteq P$$B=NP$

Я ищу примеры проблем с гэп-классами, которые максимально возможны. Чтобы ограничить сферу и уточнить вопрос, меня особенно интересуют проблемы с и , означающие, что как членство в и -полнота согласованы с текущими знаниями, без разрушения известных классов (скажем, классов из этот список ).B ⊇ E X P T I M E P E X P T I M $A\subseteq P$$B\supseteq EXPTIME$$P$$EXPTIME$

Узел Эквивалентность задачи .

Учитывая, что на плоскости нарисованы два узла, они топологически одинаковы? Эта проблема, как известно, разрешима, и, как представляется, нет никаких препятствий вычислительной сложности, связанных с ее нахождением в P. Лучшая верхняя граница, известная в настоящее время по своей временной сложности, представляется башней из s высоты c n , где c = 10 10 6 , а n - количество пересечений на диаграммах узлов. Это связано с тем, что Ковард и Лакенби ограничивают количество ходов Рейдемейстера, необходимое для перехода одного узла к эквивалентному. Смотрите более свежую статью Лакенби$2$$c^n$$c = 10^{10^{6}}$$n$ для некоторых более недавних связанных результатов и для явной формы оценки, которую я даю выше (страница 16).

Вот версия проблемы размера минимальной схемы (MCSP): учитывая бит Таблица истинности булевой функции, у него есть цепь размера не более 2 л / 2 ?$2^n$$2^{n/2}$

Известно, что не в . Содержится в N P . Обычно считается, что N P -hard, но это открыто. Я считаю, что это даже не известно, что A C 0 [ 2 ] -hard. Действительно, недавняя работа с Коди Мюрреем (которая появится в CCC'15) показывает, что нет единого снижения NC0 с PARITY до MCSP.$AC0$$NP$$NP$$AC0[2]$

Сложность вычисления бита (заданного в двоичном виде) иррационального алгебраического числа (такого как ) имеет наилучшую известную верхнюю границу P P P P P P P посредством редукции к задаче B i t S L P, которая, как известно, имеет эту верхнюю границу[ABD14]. С другой стороны, мы даже не знаем, сложнее ли эта проблема, чем вычисление четностиnбитов - для всех мы знаем, что эта проблема может быть вA C 0 . Заметим, однако, что мы знаем, что никакой конечный автомат не может вычислить биты иррационального алгебраического числа[AB07]$\sqrt{2}$$\mathsf{P^{{{PP}^{PP}}^{PP}}}$$\mathsf{BitSLP}$$n$$\mathsf{AC^0}$

Другой естественной топологической проблемой, сходной по духу с ответом Питера Шора, является вложимость двумерных абстрактных симплициальных комплексов в $\mathbb{R}^3$ . В общем - то естественно спросить , когда мы можем эффективно / эффективно решить , что абстрактный - мерный симплициальный комплекс$k$ может быть встроен в . Для k = 1 и d = 2 это проблема плоскостности графа и имеет алгоритм линейного времени. Для k = 2 и d = 2 также существует линейный алгоритм времени . $\mathbb{R}^d$$k=1$$d=2$$k=2$$d=2$ , d = 3 дело было открыто до прошлого года, когда былодоказано, что оно решаемо Матусеком, Седжвиком, Тансером и Вагнером. Они говорят, что их алгоритм имеетпримитивную рекурсивнуювременную привязку, нобольшую, чем башня экспонент. С другой стороны, они предполагают, что, возможно, можно поставить проблему в NP, но выход за пределы этого будет проблематичным. Тем не менее, нет никаких убедительных доказательств того, что алгоритм polytime невозможен.$k=2$$d=3$

Последняя статья имеет много ссылок для дальнейшего чтения.

Многочисленные автоматы (MCA) - это конечные автоматы, оснащенные счетчиками, которые можно увеличивать и уменьшать за один шаг, но в качестве чисел принимают только целые числа> = 0. В отличие от машин Мински (иначе называемых автоматами счетчиков), MCA не разрешается проверять, равен ли счетчик нулю.

Одной из алгоритмических проблем с огромным разрывом, связанным с MSC, является проблема достижимости. Например, может ли автомат достигнуть из конфигурации с начальным состоянием и всеми счетчиками нуля, конфигурации с принимающим состоянием и всеми счетчиками снова с нуля.

Проблема сложна для EXPTIME (как показано Ричардом Липтоном в 1976 г.), разрешима (Ernst Mayr, 1981) и разрешима в Fω3 (спасибо, Сильвен, за указание на это). Огромный разрыв.

$\mathsf{QMA}(2)$ (Quantum Merlin-Arthur with two unentangled provers): certainly $\mathsf{QMA}$-hard, but only known to be in $\mathsf{NEXP}$.

The computational problem associated to Noether's Normalization Lemma for explicit varieties ("explicit" in the sense of this paper [freely available full version]). Best known upper bound is $\mathsf{EXPSPACE}$ (note, SPACE, not TIME!) but it is conjectured to be in $\mathsf{P}$ (and indeed, its being in $\mathsf{P}$ is essentially equivalent to derandomizing PIT).

The Skolem problem (given a linear recurrence with integer base cases and integer coefficients, does it ever reach the value 0) is known to be NP-hard and not known to be decidable. As far as I know anything in between would be consistent with our current knowledge without any collapses of standard complexity classes.