Парные независимые гауссианы

Учитывая (у гауссиан со средним значением и дисперсией ), возможно ли (как?) Произвести выборку (для ) , что попарно независимые гауссианы со средним и дисперсией . $X_1,\ldots,X_k$ $0$ $1$ $m=k^2$ $Y_1, \ldots, Y_m$ $Y_i$ $0$ $1$

derandomization pr.probability

— Кава
источник

@Suresh,

поэтому, похоже, это не работает.

E [(X_{i} + X_{j}) (X_{i} + X_{k})] = E [X_{i}^{2}] = 1

$E[(X_i+X_j)(X_i+X_k)] = E[X_i^2] = 1$

— Каве

Я не знаю почему, но я нахожу ответ МО на этот вопрос довольно смешным (не считая указателя на stats.SE): mathoverflow.net/questions/46180/…

— Суреш Венкат

Я искал что-то вроде линейных комбинаций (которые, очевидно, не работают) или полиномов и т. Д. (Которые не работают сразу), но я не могу придумать разумного представления о том, что ответ Шая на mathoverflow не соответствует.

Может быть, вы должны обновить вопрос, указывая ответ на МО?

— Суреш Венкат

Вам нужен совместно гауссовский дистрибутив? Если это так, то, что вам нужно, кажется невозможным, поскольку такое распределение определяется его ковариационной матрицей и, таким образом, парная независимость и полная независимость будут одинаковыми.

— MCH

Ответы:

Публикация на MathOverflow рассказывает, как перейти от небольшого числа независимых Uniform [0,1] случайных величин к большему количеству попарно-независимых Uniform [0,1] случайных величин. Конечно, вы можете перемещаться между Uniform [0,1] и Gaussian, переворачивая CDF. Но это требует численного анализа, так как CDF не является замкнутой формой.

Однако есть более простой способ перехода с гауссовского на равномерный. Для двух независимых гауссианов угол равномерен в диапазоне . $X_1, X_2$ $\arctan(X_1/X_2)$ $[0,2 \pi]$

Точно так же метод Бокса-Мюллера преобразует две независимые переменные Uniform [0,1] в две независимые гауссовы случайные величины

Используя эти два преобразования, вы потребляете двух гауссианов для получения униформы или двух униформ для получения гауссиана. Таким образом, в эффективности выборки есть только коэффициент . Кроме того, инверсия нормального cdf не требуется. $O(1)$

— Дэвид Харрис
источник

-2

$|Y_{i,j}| = |Y_{i,j'}|$

$(i,j) \in {[k] \choose 2}$ $Y_{i,j} = |X_i| \cdot \sigma(X_i X_j)$ $\sigma(\cdot)$ $Y_{i,j}$ $(i,j) \neq (i',j')$

E [Y_{i, j} Y_{i^{'}, j^{'}}] = E [| X_{i} X_{i^{'}} | \cdot σ (X_{i} X_{i^{'}} X_{j} X_{j^{'}})]

$\mathbb{E}[Y_{i,j}Y_{i',j'}] = \mathbb{E}[|X_i X_{i'}| \cdot \sigma(X_i X_{i'} X_j X_{j'})]$

i, i^{'}, j, j^{'}

$i,i',j,j'$

PS: предыдущая версия ложно претендовала на парную независимость.

— Арнаб
источник

Я не могу понять, почему значение нулевого продукта подразумевает независимость.

— Tsuyoshi Ito

@TsuyoshiIto: Ваша критика была правильной, конечно. Я все еще оставил этот ответ, поскольку я думаю, что это интересно.

— Арнаб

Если вы хотите сохранить свой пост, пожалуйста, соблюдайте необходимые меры предосторожности, чтобы не запутать читателей. Вы можете утверждать, что в текущей версии (редакции 3) вашего сообщения не указано ничего неправильного. Правда, но вопрос задает что-то, а ваш пост отвечает на что-то другое, не заявляя об этом. Пожалуйста, поймите, что это очень запутанно для читателей.

— Цуёси Ито