Детерминированный параллельный алгоритм для идеального сопоставления в общих графах?

В классе сложности есть некоторые проблемы, предположительно не входящие в класс N C , то есть проблемы с детерминированными параллельными алгоритмами. Проблема максимального потока является одним из примеров. И есть проблемы, СЧИТАЕМЫЕ быть в N C , но доказательство еще не найдено.$\mathsf{P}$$\mathsf{NC}$$\mathsf{NC}$

Идеальный Matching проблема является одной из наиболее фундаментальной проблемы , затронутой в теории графов: для графа , мы должны найти идеальное соответствие для G . Как я мог найти в интернете, несмотря на прекрасный алгоритм Блоссома с полиномиальным временем Эдмондса и RANDOMIZED параллельный алгоритм Карпа, Апфала и Вигдерсона в 1986 году, известно, что только несколько подклассов графов имеют N C алгоритмов.$G$$G$$\mathsf{NC}$

В январе 2005 года есть запись в блоге вычислительной сложности , что претензии он остается открытым ли паросочетания в . Мой вопрос:$\mathsf{NC}$

Есть ли какой-либо прогресс с тех пор, кроме рандомизированного алгоритма ?$\mathsf{NC}$

Чтобы прояснить мой интерес, любой алгоритм, который имеет дело с общими графами, хорош. Хотя алгоритмы для подклассов графов тоже в порядке, это может быть не мое внимание. Спасибо вам всем!

РЕДАКТИРОВАТЬ в 12/27:

Спасибо за вашу помощь, я стараюсь обобщить все результаты в одну цифру:

Наименее известные классы содержат следующие проблемы:

• Сопоставление в общих графах: [ KUW86 ], R N C 2 [ CRS93 ]$\mathsf{RNC}$$\mathsf{RNC}^2$
• Соответствие в двудольных планарных / константных графах: / S P L [ DKT10 ] / [ DKTV10 ]$\mathsf{UL}$$\mathsf{SPL}$
• Соответствует, когда общее число является полиномиальным: [ H09 ]$\mathsf{SPL}$
• Максимальное совпадение с первым Lex: [ MS89 ]$\mathsf{CC}$

Кроме того, при предположении вероятной сложности: для требуются экспоненциальные схемы, в общих графах сопоставление выполняется в S P L [ ARZ98 ].$\mathsf{SPACE[n]}$$\mathsf{SPL}$

$NC$

$NC^2$

$NC$$P$$NC$$NC$

$UL$$NC$$UL$$NC$

Надеюсь это поможет.

Несколько лет спустя :) и Perfect Matching теперь известны в Quasi-NC (то есть, вам нужно квазиполиномиально много процессоров). См. Статью Феннера, Гурджара и Тирауфа (для двудольных графов) https://arxiv.org/pdf/1601.06319.pdf и нашу работу с Олой Свенссон (для общих графиков): https://arxiv.org/pdf/1704.01929

Дерандомизация леммы об изоляции по Тевари-Винодчандрану, к сожалению, не дает верхней границы UL для плоского сопоставления. На самом деле я даже не думаю, что алгоритм NC не известен для плоского сопоставления. Но в недавней работе с Datta, Kulkarni и Nimbhorkar мы показываем верхнюю границу UL для двустороннего плоского сопоставления (запись этого результата все еще продолжается). Это интересно, потому что до этого даже NL-граница не была известна для этой проблемы.

Когда известно, что проблема оптимизации трудна, обычно рассматривают их максимальные версии. Например, в то время как независимый набор является NP-Complete, лекс первый максимальный независимый набор, который является P-Complete.

$\sqrt n$

Все это говорит о том, что не может быть легко распараллеливаемой версии NC для этого. Но тогда кто знает? Кто-то может дерандомизировать версию RNC на следующей неделе!

Редактировать: Спасибо, Рампрасад. Но вот еще одна ссылка на статью.

$(1-\epsilon)-$$NC$$n^{\Theta(1/\epsilon)}$$O(\log^3 n)$

Т. Фишер, А. В. Гольдберг, DJ Хаглин и С. Плоткин. Аппроксимирующие совпадения параллельно. Информация. Proc. Lett., 46 (3): 115, 1993