Умножение квантовой матрицы?

Не похоже, что это известно - но есть ли интересные нижние оценки сложности умножения матриц в модели квантовых вычислений? Есть ли у нас какая-то интуиция, что мы можем победить сложность алгоритма Копперсмита-Винограда, используя квантовые компьютеры?

reference-request quantum-computing matrix-product

— Генри Юн
источник

Ответы:

В arXiv: quant-ph / 0409035v2 Берман и Спалек представляют квантовый алгоритм, опережающий алгоритм Копперсмита-Винограда в случаях, когда выходная матрица имеет несколько ненулевых элементов.

Обновление: есть также немного улучшенный квантовый алгоритм Дёрна и Тьерауфа .

Обновление: есть улучшенный квантовый алгоритм Ле Галла, опередивший Бурхмана и Спалека в целом.

— Мартин Шварц
источник

Это было новым для меня (я мало знаю о квантовых результатах), но, взглянув на бумагу, результат оказался еще более удивительным! Если для

матричных умножений есть

A_{n x m} B_{m x n} = C_{n x n}

$A_{nxm}B_{mxn}=C_{nxn}$

ненулевые записи в выходных данных, произведение может быть вычислено засубквадратичноевремя,

o (\sqrt{n})

$o(\sqrt{n})$

o (n m)

$o(nm)$

— Даниэль Апон

Там очень небольшое улучшение , чтобы это для специального случая булевой матрицы продукта, мин {

} , когда есть

nonzeroes в выходном сигнале. (Он появился в нашей статье FOCS'10 «Субкубические эквивалентности между задачами пути, матрицы и треугольника».)

n^{1.3} w^{17 / 30}, n^{2} + w^{47 / 60} n^{13 / 15}

$n^{1.3}w^{17/30}, n^2 + w^{47/60} n^{13/15}$

w

$w$

— virgi

Недавнее усовершенствование к

в случае булевой матрицы продукта arxiv.org/abs/1112.5855 , с также соответствующими нижними границами.

n w^{1 / 2}

$nw^{1/2}$

— Абель Молина

Если вы заинтересованы в умножении двух матриц и получении полного классического результата, ответ Мартина, вероятно, является окончательным ответом на ваш вопрос. Однако, если вы хотите вычислить что-то вроде вы можете сделать это чрезвычайно эффективно. У Харроу, Хасидима и Ллойда есть алгоритм ( arXiv: 0811.3171 ) для вычисления который является логарифмическим только в измерениях матрицы для разреженных матриц. Кажется, довольно просто адаптировать этот подход для расчета продуктов, а не наоборот. $v^\dagger X Y v$ $v X^{-1} v$ $X$

— Джо Фитцсимонс
источник

В этом случае время выполнения будет по-прежнему зависеть от номера условия матриц, и матрицы должны иметь сложные записи. Кроме того, если X и Y невелики, то то же самое можно сказать и

их произведении, и

можно оценить классически с таким же экспоненциальным ускорением, используя случайную выборку.

v^{'} X Y v

$v'XYv$

— Арам Харроу

@ Арам: Хорошая мысль! Я знаю, что ваш алгоритм работает для разреженных матриц, но у меня сложилось впечатление, что он может работать и для некоторых не разреженных матриц. Это верно?

— Джо Фицсимонс

Да, это работает для не разреженных матриц, когда мы знаем хорошие способы моделирования этих гамильтонианов. Так что, возможно, здесь возможно что-то нетривиальное.

— Арам Харроу

@Aram: С использованием кодировки, которую вы используете, разве мы не получаем преобразование Фурье всех разреженных матриц через QFT?

— Джо Фицсимонс

@Joe: я только что заметил это. Да, эти матрицы (которые вы можете считать разреженными в основе импульса) также можно использовать. В этом нет ничего уникального для нашего алгоритма. Скорее, это утверждение о классе гамильтонианов, которые мы знаем, как моделировать на квантовом компьютере.

— Арам Харроу