Известна ли сложность этой проблемы пути?

Экземпляр: неориентированный граф $G$ с двумя выделенными вершинами и целым числом . $s\neq t$ $k\geq 0$

Вопрос: существует ли путь в , такой, что путь пересекает не более $s-t$ $G$ $k$ треугольники? (Для этой задачи говорят, что путь пересекает треугольник, если путь содержит хотя бы одно ребро из треугольника.)

cc.complexity-theory graph-algorithms

— Андрас Фараго
источник

Это неправильно? Мы назначаем вес каждому ребру и затем находим кратчайший путь. Вес каждого ребра - это количество треугольников, которые включают это ребро. Вес этого пути не равен количеству встречаемых треугольников, но это первый путь с минимальным количеством треугольников. (Возможная проблема состоит в том, что мы можем считать один или несколько треугольников дважды, потому что мы посещаем два ребра этого треугольника, но причина, по которой мы выбираем их, состоит в том, что они меньше, чем проходя через другой край треугольника, и у нас также есть простые средства пути два ребра треугольника находятся рядом друг с другом).

— Саид

@ Seed Я не понимаю: каков аргумент, что перерасчет не заставляет вас выбирать неоптимальный путь? Ваш алгоритм, безусловно, является 2-приближением. Может быть, исправить это добавить край

(u, w)

$(u, w)$ для каждого пути

u \to v \to w

$u\to v \to w$ с весом, равным количеству треугольников, содержащих оба

(u, v)

$(u,v)$ а также

(v, w)

$(v,w)$

— Сашо Николов

Правильно, мы можем перейти от u к v, а затем выбрать x (какой-то другой узел, не входящий в треугольник uvw), а затем перейти к w, что неправильно (моя ошибка заключалась в том, что я пропустил между вершинами, которых нет в треугольнике uvw) , но с вашим исправлением это правильно, потому что для каждого пути с

α

$\alpha$ треугольники в исходном графе есть путь веса

α

$\alpha$ во вспомогательном графе. Кроме того, вес пути в новом графе всегда равен как минимум количеству треугольников в соответствующем пути в исходном графе.

— Саид

Я немного больше об этом думаю, даже после исправления это не работает. Извините, Андрас, если я принес неверную надежду. Чтобы понять, почему исправление является неправильным, рассмотрим вершины

u - > v - > w - > x

$u->v->w->x$ в пути

P

$P$ и у нас есть треугольник

u, v, w

$u,v,w$ а также

v, w, x

$v,w,x$ и предположим, что края

v x

$vx$ а также

u w

$uw$ случаются слишком много треугольников. Если мы используем искусственное новое ребро, которое соединяет

u - > w

$u->w$ тогда мы посчитали треугольник

v, w, x

$v,w,x$ дважды. PS: мои рассуждения снова были неправильными, потому что я думал, что мы просто заменим

u - > v

$u->v$ а также

v - > w

$v->w$ с новым (мульти) краем

u - > w

$u->w$ , Если мы добавим эти искусственные ребра для каждого пути, это будет работать тривиально. Кажется, это NPC.

— Саид

Моя идея не сработает - мне нужно поддерживать несколько наборов, и я думаю, что их будет слишком много.

— reinierpost

Предположим, что в $G$ ,

Для каждого ребра между узлами $v_i$ а также $v_j$ в $G$ , позволять $E[i,j]=1$ , а также $E[i,j]=0$ если нет края. вычисление $n\times n$ матрица $C[i,j]=\sum_{k=1}^n E[i,k]\cdot E[k,j]$ , который дает количество двухшаговых путей между каждой парой узлов $v_i$ а также $v_j$ , Тогда для края между $v_i$ а также $v_j$ в $G$ вычисление $D[i,j]=E[i,j]\cdot C[i,j]$ иначе установлено $D[i,j]=\infty$ , который дает количество треугольников, частью которых является ребро (или бесконечность, если ребра нет). Матричное умножение, необходимое для вычисления $C$ расходы $O(n^3)$ (может быть вычислено быстрее в зависимости от разреженности $G$ ).

Теперь вычислим $n\times n$ матрица $A$ такой, что $A[i,j]=\min(D[i,j],\min_k(D[i,k]+D[k,j]-E[i,j]))$ , $A$ все кратчайшие пути в $D$ длиной до двух дополнен, чтобы учесть пути, которые идут по двум краям некоторого треугольника.

Теперь просто вычислите кратчайший путь между $v_i$ а также $v_j$ в $G$ на новом графике которого $A$ является (взвешенной) матрицей смежности с использованием Дейкстры (поскольку все ребра-веса положительны), т.е. $A^*[i,j]\leq k$ , где $A^*$ это замыкание над тропическим полукольцом (которое дает матрицу расстояний).

— Эдгар
источник