Слова Фибоначчи

В моем старом учебнике по чешскому алгоритму я столкнулся со следующей проблемой, к сожалению, без подсказок и решений.

«Мы определяем слова Фибоначчи как , , , где и - общие буквы. Как в данном строка (над потенциально большим алфавитом) вы можете найти самое длинное подслово Фибоначчи за линейное время? "F 1 = b F n + 2 = F n F n + 1 a $F_{0}=a$$F_{1}=b$$F_{n+2}=F_{n}F_{n+1}$$a$$b$

Я знаю решение в квадратичном времени, но не могу свести его к линейному. Кто-нибудь может указать мне правильное направление?

Очевидный путь - динамическое программирование: пусть хранит две буквы, для которых слово порядка Фибоначчи i начинается с позиции j , и вычисляет это, рассматривая F ( i - 2 , j ) и F ( i - 1 , j + fib ( i ) ) . Это занимает не более O ( n log n ) времени, поскольку существует только логарифмически много возможных значений $F(i,j)$$i$$j$$F(i-2,j)$$F(i-1,j+\operatorname{fib}(i))$$O(n \log n)$$i$,

Но я подозреваю, что могут быть только позиции для которых F ( i - 2 , j ) непуста (то есть, что при наличии двух слов Фибоначчи одинаковой длины они могут перекрываться только до постоянная доля их длины, а не большая часть их длины). Непустые позиции F ( i - 2 , j ) - единственные, для которых вам нужно вычислить (постоянное время) для F ( i , j $O(n/\operatorname{fib}(i))$$F(i-2,j)$$F(i-2,j)$$F(i,j)$, Так что, если мое подозрение верно, то вы можете ускорить его до , отслеживая список непустых позиций для каждого значения i и используя список для i - 2, чтобы ускорить вычисление списка для i .$O(n)$$i$$i-2$$i$

Если вы храните в массиве, пространство все равно будет равно O ( n log n ) даже после ускорения, но это можно улучшить, используя вместо этого хеш-таблицу. Или же вы можете хранить F в битовом массиве с O ( n ) log n- битными словами (используя замечание, что вам нужно только знать, пусто оно или нет; вы можете найти два символа для каждой подстроки, посмотрев на первые две его позиции во входной строке).$F$$O(n \log n)$$F$$O(n)$ $\log n$