Целочисленное линейное программирование в логарифмическом числе переменных

Я читал, что целочисленное линейное программирование разрешимо за полиноминальное время, если число переменных фиксировано, т.е. . Если число переменных растет логарифмически, т. для заданного входного значения размера , проблема все еще разрешима за полиноминальное время или это открытая проблема? $n$ $n \in O(1)$ $n \in O(\log_2(N))$ $N$

cc.complexity-theory np open-problem

— user3613886
источник

Разве вы не можете добавить тривиально истинные ограничения, чтобы увеличить размер ввода?

— Joro

Почему вы хотите увеличить размер ввода?

— user3613886

Чтобы сделать ввод таким большим, чтобы количество переменных было логарифмическим и соответствовало вашему вопросу.

— Joro

но в вопросе мы уже предполагаем, что переменные являются логарифмическими по сравнению с размером ввода

— user3613886

Я думал о создании всех экземпляров как ваших, но это может экспоненциально увеличить вход.

— Joro

Я могу дать только частичный ответ на этот вопрос.

Результат Ленстры (позже улучшенный Каннаном, Фрэнком и Тардосом) утверждает, что ILP с переменными может быть решена за время (умноженное на полином по размеру ILP). Поэтому ILP находится в P, когда число переменных равно . Я не уверен, известен ли алгоритм или такой алгоритм противоречил бы ETH. $k$ $k^{O(k)}$ $O(\log n/\log\log n)$ $2^{O(k)}$

Я нашел эту информацию в диссертации Данила Локштанова. Вот соответствующие ссылки.

HW Lenstra. Целочисленное программирование с фиксированным числом переменных. Математика исследования операций, 8: 538–548, 1983.
Р. Каннан. Теорема Минковского о выпуклом теле и целочисленное программирование. Математика исследования операций, 12: 415–440, 1987.
Андрас Франк и Ева Тардос. Применение одновременной диофантовой аппроксимации в комбинаторной оптимизации. Combinatorica, 7: 49–65, 1987.

— Майкл Лэмпис
источник

Я думаю, что вам понадобится алгоритм O (k ^ p) для фиксированного p, поскольку даже алгоритм с 2 ^ O (k) будет экспоненциальным?

— user3613886

k

$k$

n

$n$

2^{k}

$2^{k}$

k = O (\log n)

$k=O(\log n)$

2^{k}

$2^k$

@ user3613886, конечно, конечно, но это другая проблема / вопрос. Мы не были обещаны в вопросе, что переменные являются двоичными.

— DW

Разве вы не можете добавить тривиально истинные ограничения, чтобы увеличить размер ввода?

— Joro