Векторные системы сложения с конечными «препятствиями»

Система векторного сложения (VAS) - это конечный набор действий . - это набор разметок . В рабочем цикле является непустое слово маркировки й . Если такое слово существует , мы говорим , что является достижимым из .$A \subset \mathbb{Z}^d$$\mathbb{N}^d$$m_0 m_1\dots m_n$$\forall i \in \{0, \dots, n-1\}, m_{i+1}-m_i \in A$$m_n$$m_0$

Известно, что проблема достижимости для VAS разрешима (но ее сложность остается открытой).

Теперь предположим, что задан конечный набор запрещенных разметок ( препятствий ). Я хотел бы знать, если проблема достижимости все еще разрешима.

Интуитивно понятно, что конечный набор препятствий должен мешать трассам только локально, поэтому проблема должна оставаться разрешимой. Но это не кажется тривиальным, чтобы доказать это.

РЕДАКТИРОВАТЬ . Я сохраню ответ @ Jérôme как принятый, но я хотел бы добавить дополнительный вопрос: что, если набор меток будет ?$\mathbb{Z}^d$

Идея основана на обсуждении, которое я получил с Грегуар Сутре сегодня днем.

Проблема разрешима следующим образом.

Сеть Петри - это конечное множество пар в называемых переходами. Для заданного перехода мы обозначим через бинарное отношение, определенное на множестве конфигураций через если существует вектор такой, что и . Обозначим через одношаговое отношение достижимости . Рефлексивное и транзитивное замыкание этого отношения обозначаетсяT N d × N d t = ( → u , → v ) t → N d → x t → → y → z ∈ N d → x = → u + → z → y = → v + → z T → ⋃ t ∈ T t → T ∗$T$$\mathbb{N}^d\times\mathbb{N}^d$$t=(\vec{u},\vec{v})$$\xrightarrow{t}$$\mathbb{N}^d$$\vec{x}\xrightarrow{t}\vec{y}$$\vec{z}\in\mathbb{N}^d$$\vec{x}=\vec{u}+\vec{z}$$\vec{y}=\vec{v}+\vec{z}$$\xrightarrow{T}$$\bigcup_{t\in T}\xrightarrow{t}$$\xrightarrow{T^*}$ .

Пусть будет классическим компонентно-частичным порядком над и определен если существует такой что . Закрытие вверх множества из - это множество векторов . Нисходящее замыкание множества - это множество векторов .$\leq$ N d → u ≤ → x → z$\mathbb{N}^d$$\vec{u}\leq \vec{x}$ N d → х = → U + → Z → X N d ↑ → Х { → V ∈ N d |∃ → х ∈ → Х$\vec{z}\in\mathbb{N}^d$$\vec{x}=\vec{u}+\vec{z}$$\vec{X}$$\mathbb{N}^d$${\uparrow}\vec{X}$→ x ≤ → v } → X ↓ → X { → v ∈Nd∣∃ → x ∈ → x$\{\vec{v}\in\mathbb{N}^d \mid \exists \vec{x}\in\vec{X}.\,\vec{x}\leq\vec{v}\}$$\vec{X}$${\downarrow}\vec{X}$$\{\vec{v}\in\mathbb{N}^d \mid \exists \vec{x}\in\vec{x}.\,\vec{v}\leq\vec{x}\}$

Обратите внимание, что если для некоторого конечного множества из и если - сеть Петри, мы можем вычислить новую сеть Петри такой, что для каждой конфигурации нас есть и тогда и только тогда, когда . Фактически, если является переходом, то для каждого пусть где - вектор в→ U =↑ → B → B NdTT → B → x , → y → x T$\vec{U}={\uparrow}\vec{B}$$\vec{B}$$\mathbb{N}^d$$T$$T_{\vec{B}}$$\vec{x},\vec{y}$ → y → x , → y ∈ → $\vec{x}\xrightarrow{T}\vec{y}$$\vec{x},\vec{y}\in\vec{U}$ → x T → B → → y t=( → u , → v ) → b ∈ → B t → b =($\vec{x}\xrightarrow{T_{\vec{B}}}\vec{y}$$t=(\vec{u},\vec{v})$$\vec{b}\in\vec{B}$u + → z , → v + → z ) → z Nd → z (i)=max{ → b (i)- → u (i), → b (i)- → v (i),0}1≤i≤dT → U ={t$t_{\vec{b}}=(\vec{u}+\vec{z},\vec{v}+\vec{z})$$\vec{z}$$\mathbb{N}^d$ определяемый компонентно как для каждого . Обратите внимание, что удовлетворяет требованию.$\vec{z}(i)=\max\{\vec{b}(i)-\vec{u}(i),\vec{b}(i)-\vec{v}(i),0\}$$1\leq i\leq d$$T_{\vec{U}}=\{t_{\vec{b}} \mid t\in T\,\vec{b}\in\vec{B}\}$

Теперь предположим, что - сеть Петри, - множество препятствий. Введем конечное множество . Заметьте, что мы можем эффективно вычислить конечный набор из такой, что . Пусть будет двоичным отношением, определенным над помощью если , или существует такой, чтоT → O → D = ↓ → O → B N d ↑ → B = N d ∖ → D R N d ∖ → O → x R → y → x = → y → x ′ , → y ′ ∈ N d ∖ → O → x T → → x ′ T ∗ $T$$\vec{O}$$\vec{D}={\downarrow}\vec{O}$$\vec{B}$$\mathbb{N}^d$${\uparrow}\vec{B}=\mathbb{N}^d\backslash\vec{D}$$R$$\mathbb{N}^d\backslash \vec{O}$$\vec{x} R \vec{y}$$\vec{x}=\vec{y}$$\vec{x}',\vec{y}'\in \mathbb{N}^d\backslash \vec{O}$$\vec{x}\xrightarrow{T}\vec{x}'\xrightarrow{T_{\vec{B}}^*}\vec{y}'\xrightarrow{T}\vec{y}$,

Теперь просто обратите внимание, что если существует переход от начальной конфигурации к конечной который избегает препятствия , то существует такой, который избегает препятствия в и это проходит конфигурациями в не более чем кардинал этого набора. Следовательно, проблема сводится к выбору недетерминированных различных конфигураций в , исправьте как начальная конфигурация , как конечная , и проверьте, что→ x → y → O → O → D ∖ → O → c 1,…, → c n → D ∖ → O → c 0 → x cn+1 → y → c jR → c j+1$\vec{x}$$\vec{y}$$\vec{O}$$\vec{O}$$\vec{D}\backslash \vec{O}$$\vec{c}_1,\ldots,\vec{c}_n$$\vec{D}\backslash \vec{O}$$\vec{c}_0$$\vec{x}$$c_{n+1}$$\vec{y}$$\vec{c}_j R \vec{c}_{j+1}$ для каждого . Эта последняя проблема сводится к классическим вопросам достижимости для сетей Петри.$j$

Я думал о вашем вопросе для систем сложения векторов с состояниями (VASS), которые эквивалентны VAS, и придумал это решение. Теперь я прочитал хороший ответ Жерома и должен сказать, что мой ответ очень похож, поэтому, пожалуйста, примите его ответ, даже если вы считаете мой правильный.

Идея: возможно преобразовать VASS в VASS который запрещает векторы, меньшие или равные препятствиям. Это не совсем то, что мы хотим, поскольку разрешено достигать векторов, меньших, но не равных препятствиям. Однако таких векторов конечное число. Это позволяет разложить минимумы на конечное число серий, которые являются либо переходом либо эквивалентным набором . Поэтому да , проблема разрешима.V V ′ V V $V$$V'$$V$$V'$

Подробности: Пусть будет -VASS, т.е. является конечным помеченный граф таким образом, что . Пусть - множество препятствий. Пусть и , мы пишем всякий раз, когда является запускается из для с каждой промежуточной конфигурации в . Мы обозначаемV = ( Q , T ) d V T ⊆ Q × Z d × $V=(Q,T)$$d$$V$$T \subseteq Q \times \mathbb{Z}^d \times Q$ O ⊆ N д л ∈ T * X ⊆ N д р ( у ) л → Х д ( V ) л р ( у ) д ( V ) Q × X ↓ X = { y : y $O \subseteq \mathbb{N}^d$$\pi ­\in T^*$$X \subseteq \mathbb{N}^d$$p(\boldsymbol{u}) \xrightarrow{\pi}_X q(\boldsymbol{v})$$\pi$$p(\boldsymbol{u})$$q(\boldsymbol{v})$$Q \times X$${\downarrow}X = \{\boldsymbol{y} : \boldsymbol{y} \leq \boldsymbol{x} \text{ for some } \boldsymbol{x} \in X\}$ .

Пусть минимальный прогон, такой что , т.е. минимальный прогон, который избегает препятствий. Тогда, по принципу голубя, может быть разложен как пробег, который входит в только конечное число раз. Более формально, существуют , и такой чтоπ p ( u ) π → N d ∖ O q ( v ) π ↓ O ∖ O t 1 , t ′ 1 … , t n + 1 , t ′ n + 1 ∈ T ∪ { ε } π 1 , … , π n + 1 ∈ T ∗ { p i ( $\pi$$p(\boldsymbol{u}) \xrightarrow{\pi}_{\mathbb{N}^d \setminus O} q(\boldsymbol{v})$$\pi$${\downarrow}O \setminus O$$t_1, t_1' \ldots, t_{n+1}, t_{n+1}' \in T \cup \{\varepsilon\}$$\pi_1, \ldots, \pi_{n+1} \in T^*$$\{p_i(\boldsymbol{u}_i), q_i(\boldsymbol{v}_i), r_i(\boldsymbol{w}_i)\}_{i \in [0,n+1]} \subseteq Q \times \mathbb{N}^d$

• $\pi = t_1 \pi_1 t_1' \cdots t_{n+1} \pi_{n+1} t_{n+1}'$ ,
• $\forall i \in [0,n]\ \; p_i(\boldsymbol{u}_i) \xrightarrow{t_{i+1}}_{\mathbb{N}^d} q_{i+1}(\boldsymbol{v}_{i+1}) \xrightarrow{\pi_{i+1}}_{\mathbb{N}^d \setminus {\downarrow}O} r_{i+1}(\boldsymbol{w}_{i+1}) \xrightarrow{t_{i+1}'}_{\mathbb{N}^d} p_{i+1}(\boldsymbol{u}_{i+1})$
• $p_0(\boldsymbol{u}_0) = p(\boldsymbol{u}),\ p_{n+1}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = q(\boldsymbol{v})$ ,
• $\forall i \in [1,n]\ \; \boldsymbol{u}_i \in {\downarrow}O \setminus O$ .
• $n \leq |Q| \cdot |{\downarrow}O|$,

Следовательно, достаточно угадать , и промежуточные конфигурации. Проверка того, можно ли путем преобразования в новый -VASS где каждый переход заменяется гаджетом из переходов. Например, если то переходы заменяются следующим образом:n t 1 , t ′ 1 , … , t n + 1 , t ′ n + 1 p ( x ) ∗ → N d ∖ ↓ O q ( y ) V d V ′ t ∈ T 4 | O | + 1 O = { ( 1 , 5 ) , ( 2 , $n$$t_1, t_1', \ldots, t_{n+1}, t_{n+1}'$$p(\boldsymbol{x}) \xrightarrow{*}_{\mathbb{N}^d \setminus {\downarrow}O} q(\boldsymbol{y})$$V$$d$$V'$$t \in T$$4|O|+1$$O = \{(1,5), (2,3)\}$