Цепочки переключения двухцветные?

Для $A\subset [n]$ обозначим через $a_i$ в $i^{th}$ наименьший элемент $A$ .

Для двух $k$ -элементных множеств $A,B\subset [n]$ мы говорим, что $A\le B$ если $a_i\le b_i$ для каждого $i$ .

$k$ -равномерной Гиперграф ${\mathcal H}\subset [n]$ , называется сдвигом цепью , если для любых гиперреберов, , B ∈ H , мы имеем ≤ B или B ≤ . (Таким образом, цепочка сдвигов имеет не более k ( n - k ) + 1 гиперферм.)$A, B \in {\mathcal H}$$A\le B$$B\le A$$k(n-k)+1$

Мы говорим, что гиперграф ${\mathcal H}$ является двухцветным (или что он обладает свойством B), если мы можем раскрасить его вершины двумя цветами, чтобы ни один гиперэксид не был монохроматическим.

Верно ли, что сдвиговые цепочки двухцветны, если $k$ достаточно велико?

Замечания. Я впервые опубликовал эту проблему на mathoverflow , но никто не прокомментировал ее.

Проблема была исследована на 1-ом семинаре Эмлектабла для получения некоторых частичных результатов, см. Буклет .

Вопрос мотивирован разложением множества покрытий плоскости переводами выпуклых форм, в этой области много открытых вопросов. (Подробнее см. В моей докторской диссертации .)

Для $k=2$ существует тривиальный контрпример: (12), (13), (23).

Очень магические контрпример был дан $k=3$ с помощью Радослава Fulek с помощью компьютерной программы:

(123), (124), (125), (135), (145), (245), (345), (346), (347), (357),

(367), (467), (567), (568), (569), (579), (589), (689), (789).

Если мы допустим, чтобы гиперграф был объединением двух цепочек сдвига (с одинаковым порядком), то для любого $k$ существует контрпример .

Обновить. Недавно мне удалось показать, что в этом препринте более ограниченная версия сдвиговых цепочек может быть двухцветной .

Постоянное вознаграждение! Я рад в любое время назначить 500 наград за решение!

Это не ответ. Далее следует простое доказательство того, что конструкция для k = 3 действительно является контрпримером. Я думаю, что спрашивающий знает это доказательство, но я все равно опубликую его, потому что доказательство приятно, и это может быть полезно, когда люди рассматривают случай больших k .

Нетрудно убедиться, что это сдвиговая цепь. Покажем, что у него нет свойства B.

Фактически, подгиперграф {(123), (145), (245), (345), (346), (347), (357), (367), (467), (567), (568), (569), (789)} уже не удовлетворяет свойству B. Чтобы это увидеть, предположим, что этот гиперграф имеет 2-раскраску, и пусть c _i будет цветом вершины i . Посмотрите на три гиперграня (145), (245), (345). Если c ₄ = c ₅ , то все значения 1, 2 и 3 должны быть цвета, противоположного c ₄ , но это дало бы монохроматический гиперэкран (123). Следовательно, должно быть так, что c ₄ ≠ c ₅ . По аналогии,

• c ₃ ≠ c ₄ , сравнивая три гипергрань (345), (346), (347) и замечая гипергрань (567).
• c ₆ ≠ c ₇ , сравнивая три гипергрань (367), (467), (567) и замечая гипергрань (345).
• c ₅ ≠ c ₆ , сравнивая три гиперэкс (567), (568), (569) и замечая гиперэдж (789).

Следовательно, мы имеем c ₃ ≠ c ₄ ≠ c ₅ ≠ c ₆ ≠ c ₇ . Но это означает, что c ₃ = c ₅ = c ₇ , что делает гиперчувствительность (357) монохроматической. Это противоречит предположению о 2-раскраске.

Возможно, я что-то упускаю, но я думаю, что есть вероятная нижняя граница вероятностного метода:

Если цвет каждой вершины indepedently с вероятностью для каждого цвета , то ваш имеют монохроматический край с вероятностью 2 ⋅ ( $1/2$$2 \cdot (\dfrac{1}{2})^k = 2^{-k+1}$$B$

$O(\sqrt{k/\ln(k)} \cdot 2^k)$$k$$B$