Нахождение наименьшего DFA, который разделяет два слова без использования перебора?

Учитывая две строки x и y, я хочу создать DFA минимального размера, который принимает x и отклоняет y. Один из способов сделать это - перебор. Вы перечисляете DFA, начиная с самого маленького. Вы пробуете каждый DFA, пока не найдете тот, который принимает x и отклоняет y.

Я хочу знать, есть ли другой известный способ найти или создать DFA минимального размера, который принимает x и отклоняет y. Другими словами, можем ли мы победить перебор?

Подробнее:

(1) Я действительно хочу, чтобы алгоритм нашел DFA минимального размера, а не DFA минимального размера.

(2) Я не просто хочу знать, насколько большой или маленький минимальный DFA.

(3) Здесь я сосредоточен только на том случае, если у вас есть две строки x и y.

Редактировать :

Дополнительная информация для заинтересованного читателя:

Предположим, что и y - двоичные строки длиной не более n . Известно, что существует DFA, который принимает x и отклоняет y не более $x$$y$$n$$x$$y$ государств. Обратите внимание, что есть околоn$\sqrt{n}$ DFA с бинарным алфавитом и не более$n^{\sqrt{n}}$ государств. Следовательно, подход грубой силы не потребует от нас перечислять более чемn$\sqrt{n}$ DFA. Отсюда следует, что метод грубой силы не может занять намного больше, чемn$n^{\sqrt{n}}$ раз.$n^{\sqrt{n}}$

Слайды, которые я нашел полезными: https://cs.uwaterloo.ca/~shallit/Talks/sep2.pdf

Если бы мне пришлось делать это на практике, я бы использовал SAT-решатель.

Вопрос о том, существует ли DFA с состояниями, который принимает x и отклоняет y, можно легко выразить как экземпляр SAT. Например, один способ состоит в том, чтобы иметь 2 k 2 булевых переменных: z s , b , $k$$x$$y$$2k^2$$z_{s,b,t}$ истинно, если DFA переходит из состояния в состояние t на входном бите b . Затем добавьте несколько предложений, чтобы убедиться, что это DFA, а некоторые переменные и предложения, чтобы убедиться, что он принимает x и отклоняет y .$s$$t$$b$$x$$y$

Теперь используйте бинарный поиск по чтобы найти наименьшее k такое, что существует DFA такого типа. Исходя из того, что я прочитал в статьях по связанной проблеме, я ожидал, что это может быть достаточно эффективным на практике.$k$$k$

Возможны другие кодировки этого как SAT. Например, мы можем использовать кодировку трассировки:

• Если имеет длину m , вы можете добавить m lg k булевых переменных: пусть s 0 , s 1 , … , s m - последовательность состояний, пройденных на входе x , и представлять каждое s i с помощью булевых переменных ⌈ lg k ⌉ .$x$$m$$m\lg k$$s_0,s_1,\dots,s_m$$x$$s_i$$\lceil \lg k \rceil$

• Теперь для каждого такого, что x i = x j , у вас есть ограничение, что s i - 1 = s j - $i,j$$x_i=x_j$ .$s_{i-1}=s_{j-1} \implies s_i=s_j$

• Затем расширим это, чтобы обработать : пусть t 0 , … , t n будет последовательностью состояний, пройденных на входе y , и представит каждое t j, используя логические переменные lg k . Для каждого i , j такого, что y i = y j , добавьте ограничение, что t i - 1 = t j - $y$$t_0,\dots,t_n$$y$$t_j$$\lg k$$i,j$$y_i=y_j$ .$t_{i-1}=t_{j-1} \implies t_i=t_j$

• Аналогично, для каждого такого, что x i = y j , добавьте ограничение, которое$i,j$$x_i=y_j$ .$s_{i-1}=t_{j-1} \implies s_i=t_j$

• Обе трассы должны начинаться с одной и той же начальной точки, поэтому добавьте требование, что (WLOG вы можете требовать$s_0=t_0$ ).$s_0=t_0=0$

• Чтобы гарантировать, что DFA использует только состояний, требуется, чтобы 0 ≤ s i < k и 0 ≤ $k$$0 \le s_i < k$ для всех i , j .$0 \le t_j <k$$i,j$

• Наконец, чтобы закодировать требование, что принят и $x$$y$ отклонено, требуется, чтобы .$s_m \ne t_n$

Все эти требования могут быть закодированы как пункты SAT.

Как и раньше, вы бы использовали бинарный поиск на чтобы найти наименьшее k, для которого существует такой DFA.$k$$k$