Наборы степеней для линейных графиков расширения

Линейное расширение из ч.у.м. является линейным порядком на элементах , такие , что в влечет в для всех . $L$ $\mathcal{P}$ $\mathcal{P}$ $x \leq y$ $\mathcal{P}$ $x \leq y$ $L$ $x,y\in\mathcal{P}$

Линейное расширение граф представляет собой график , на множестве линейных расширений посета, где две линейных расширения являются смежными , если они точно ди эр и далее в одной смежной подкачке элементов.

На следующем рисунке показан набор, известный как набор, и график его линейного расширения, где . $N$ $a=1234, b=2134, c=1243, d=2143, e=2413$

альтернативный текст (Эта цифра взята с работы .)

Когда вы изучаете линейные графы расширений (LEG), вы можете придумать идею (гипотезу), что если - максимальная степень LEG, - соответственно, минимальная степень, то множество степеней любого LEG состоит из и каждое натуральное число между ними. Например, давайте возьмем poset, известный как chevron, затем в его LEG с и , а также, согласно по нашему предположению, вершины со степенями 4 и 3 содержатся в графе. Итак, вопрос в том, можем ли мы доказать или опровергнуть эту гипотезу? $\Delta$ $\delta$ $\Delta,\delta$ $\mathcal{G}$ $\Delta(\mathcal{G})=5$ $\delta(\mathcal{G})=2$

О НОГах и о том, как они выглядят, можно прочитать в диссертации Марейке Массова здесь . Шеврон и его LEG можно увидеть на странице 23 диссертации.

На множествах степеней есть классическая статья « Наборы степеней для графов » Kapoor SF et al.

graph-theory co.combinatorics

— Александр бондаренко
источник

что такое линейный график расширения? то есть, вы можете сложить определение в вопросе, чтобы оно было немного более замкнутым?

— Суреш Венкат

Это предположение мило. Есть ли мотивация или известные приложения для гипотезы? (Скажите сокращения другим предположениям.)

— Сянь-Чи Чанг 之之

@ Сянь-Чи Чанг Мотивация этой гипотезы заключается в том, что при ее доказательстве мы узнаем содержание набора степеней, просто зная максимальные и минимальные степени данного графа линейного расширения.

— Александр Бондаренко

Я думаю, что доказал это вчера. Таким образом, здесь идет набросок доказательства. Сначала доказывается следующая лемма.

Лемма . Пусть - частичный порядок, - его граф линейного расширения, а - две смежные вершины . Тогда . $\mathcal{P}$ $G(\mathcal{P})$ $v_1,v_2$ $G(\mathcal{P})$ $|deg(v_1)-deg(v_2)|\leq 2$

Эскиз доказательства.

В то же время, являются линейными расширениями , так что одно из них, скажем, , может быть преобразовано в путем одной транспонирования смежных элементов (смежная транспозиция). Легко видеть (например, рассмотрим и из приведенного выше рисунка), что любой элемент любого линейного расширения может изменить количество несопоставимых смежных элементов максимум на два: $v_1,v_2$ $\mathcal{P}$ $v_1$ $v_2$ $d$ $e$ $x_i$ $L=x_1x_2\dots x_n$

Если вообще можно транспонировать, то, по крайней мере, один его сосед, скажем, , не сравним с ним ( , если сопоставим, тогда ) , Примечание: перед транспонированием у нас есть и сразу после - . $x_i$ $x_{i+1}$ $x_i\parallel x_{i+1}$ $x_i\perp x_{i+1}$ $L_1=\dots x_{i-1}x_ix_{i+1}x_{i+2}\dots$ $L_2=\dots x_{i-1}x_{i+1}x_{i}x_{i+2}\dots$
Рассмотрим, как может измениться число несопоставимостей (степень линейного расширения как вершины в ) вСначала рассмотрим пару . Для тот же вывод следует из симметрии. $G(\mathcal{P})$ $L$ $x_ix_{i+2}$ $x_{i-1}x_{i+1}$

Если , то не изменяется. Если , то увеличивается (уменьшается) на единицу. Эскиз доказательства завершен. $x_{i+1}\parallel(\perp) x_{i+2}\land x_{i}\parallel(\perp) x_{i+2}$ $deg(L)$ $x_{i+1}\perp(\parallel) x_{i+2}\land x_{i}\parallel(\perp) x_{i+2}$ $deg(L)$

Теорема . Пусть - граф линейного расширения. Если содержит вершины с , то существует такой, что . $G(\mathcal{P})$ $G(\mathcal{P})$ $v_1,v_2$ $deg(v_1)=k,deg(v_2)=k+2$ $v_3\in G(\mathcal{P})$ $deg(v_3)=k+1$

Эскиз доказательства.

Предположим, что смежны в , в противном случае любая вершина со степенью в смежна с некоторая вершина, если такая существует со степенью . $v_1,v_2,deg(v_1)=k,deg(v_2)=k+2$ $G(\mathcal{P})$ $k$ $G(\mathcal{P})$ $k+1$

Рассмотрим случай, когда мы имеем из предыдущей леммы, так что $L_1,L_2$

x_{i + 1} ⊥ x_{i + 2} \land x_{i} ∥ x_{i + 2},

$x_{i+1}\perp x_{i+2}\land x_{i}\parallel x_{i+2},$ и

x_{i - 1} ⊥ x_{i} \land x_{i - 1} ∥ x_{i + 1},

$x_{i-1}\perp x_{i}\land x_{i-1}\parallel x_{i+1},$

Таким образом, . $deg(L_2)=deg(L_1)+2$

Давайте теперь начнем транспонировать в направлении . Легко видеть, что в конце концов мы могли бы остановиться на позиции, где $x_{i+1}$ $x_1$

x_{j} ⊥ x_{i + 1} \land x_{i + 1} ∥ x_{j + 1},

$x_{j}\perp x_{i+1}\land x_{i+1}\parallel x_{j+1},$ для некоторого . Эскиз доказательства завершен.

j < i - 1

$j<i-1$

— Александр бондаренко
источник

При доказательстве теоремы я не следую первому предложению. Что касается обозначений, я обычно видел, что обозначает, что и сравнимы.

x \sim y

$x \sim y$

x

$x$

y

$y$

— Андрас Саламон

@ Андраш Саламон Я добавил некоторые пояснения (степени ) к первому предложению доказательства теоремы.

v_{1}, v_{2}

$v_1,v_2$

— Александр Бондаренко

@ András Salamon используется таким же образом, например, здесь: smartech.gatech.edu/bitstream/1853/33810/1/…

x ⊥ y

$x\perp y$

— Александр Бондаренко