Как бумага BosonSampling позволяет избежать легких классов сложных матриц?

В «Вычислительной сложности линейной оптики» ( ECCC TR10-170 ) Скотт Ааронсон и Алекс Архипов утверждают, что если квантовые компьютеры можно эффективно моделировать на классических компьютерах, то иерархия полиномов падает на третий уровень. Задачей мотивации является выборка из распределения, определяемого линейно-оптической сетью; это распределение может быть выражено как перманент конкретной матрицы. В классическом случае все элементы матрицы неотрицательны, и поэтому существует вероятностный алгоритм за полиномиальное время, как показали Марк Джеррум, Алистер Синклер и Эрик Вигода (JACM 2004, doi: 10.1145 / 1008731.1008738). В квантовом случае записи являются комплексными числами. Обратите внимание, что в общем случае (когда записи не должны быть неотрицательными), перманент не может быть аппроксимирован даже в пределах постоянного множителя, согласно классическому результату Valiant 1979 года.

В статье определяется распределение определяемое матрицей A , и проблема выборки.$D_A$$A$

Вход BosonSampling : матрица Образец: из распределения D $A$
$D_A$

Использование результата твердости кажется слабым доказательством разделения между классическим и квантовым мирами, поскольку возможно, что класс матриц в конкретной квантовой установке будет иметь особую форму. Они могут иметь сложные записи, но все же могут обладать большой структурой. Следовательно, может существовать эффективная процедура выборки для таких матриц, даже если общая проблема является # P-трудной.

Как использование BosonSampling в статье позволяет избежать легких занятий?

Бумага использует много фона, которого я не имею в квантовой сложности. Учитывая все квантовые люди на этом сайте, я бы очень хотел указатель в правильном направлении. Как бы выдержали аргументы, если бы кто-нибудь обнаружил, что класс комплексных матриц, видимый в конкретной экспериментальной установке, на самом деле соответствует классу распределений, из которых было легко выбирать? Или что-то присуще квантовой системе, которая гарантирует, что этого не произойдет?

Спасибо за ваш вопрос! Есть два ответа, в зависимости от того, заинтересованы ли вы в результатах твердости для точной или приблизительной выборки BosonSampling.

В точном случае мы докажем, что для любой n-на-n комплексной матрицы A можно построить оптический эксперимент, который дает конкретный выход с вероятностью, пропорциональной | Per (A) | ² . Это, в свою очередь, подразумевает, что ни один классический алгоритм за полиномиальное время не может производить выборку из точно такого же распределения, что и оптический эксперимент (с учетом описания эксперимента в качестве входных данных), если только P ^#P = BPP ^NP . Фактически, мы можем усилить это, чтобы получить единичное распределение D _n (зависящее только от входной длины n), которое можно выбрать с помощью оптического эксперимента с размером poly (n), но которое нельзя классически выбрать с помощью poly (n). ) время, если P ^#P = BPP ^NP .

В приближенном случае ситуация сложнее. Наш основной результат говорит о том, что, если есть классический алгоритм за полиномиальное время, который моделирует оптический эксперимент даже приблизительно (в смысле выборки из распределения вероятностей по выходам, которые 1 / poly (n) -замкнуты на расстоянии вариации), то в BPP ^NP , вы можете приблизиться | Per (A) | ² , с высокой вероятностью над n-на-n-матрицей A iid гауссиан со средним 0 и дисперсией 1.

Мы предполагаем, что вышеуказанная проблема является # P-сложной (по крайней мере, не в BPP ^NP ), и страницы 57-82 нашей статьи посвящены доказательствам этой гипотезы.

Конечно, возможно, наша гипотеза неверна, и на самом деле можно дать многовременный алгоритм для аппроксимации перманентов iid гауссовых матриц. Это был бы феноменальный результат! Однако вся суть 85% нашей работы заключалась в том, чтобы основывать все на гипотезе о твердости, которая была бы как можно более чистой, простой и «не содержащей квантов». Другими словами, вместо предположения

«аппроксимация перманентов некоторых странных, специальных матриц, которые возникают в нашем эксперименте, является # P-трудной»,

мы показываем, что достаточно сделать предположение

«Аппроксимация перманентов iid гауссовых матриц является # P-трудной».