Есть ли какие-то противоречивые результаты в теоретической информатике?

30

Возможно, некоторые математические и логические парадоксы могут быть автоматически применены к компьютерам, но есть ли какие-либо парадоксы, которые были обнаружены в самой компьютерной науке?

Под парадоксами я подразумеваю противоречащие друг другу интуитивные результаты.

big-list

— серг
источник

2

Вы ищете вещи, которые чувствуют парадокс или реальные несоответствия (например, парадокс Рассела)?

— Рафаэль

2

Я не знаю подходящего тега для этого вопроса, может быть, [большая картинка] или [мягкий вопрос]. Можете ли вы привести пример математических парадоксов, которые вы упомянули, чтобы мы знали, о чем вы говорите?

— Каве

2

Очевидно, что в компьютерной науке нет никаких известных несоответствий - это могло бы беспокоить. Вы просто ищете противоречивые результаты? Достаточно ли странны результаты, подобные теореме PCP, теореме Клини о рекурсии и криптосистеме с открытым ключом, чтобы считать вас парадоксами?

— Томас поддерживает Монику

4

@serg, было бы очень полезно, если бы вы могли ответить, чтобы прояснить свой вопрос. Либо вы имеете в виду ваш вопрос в очень «мягком» смысле, который предлагает Томас, - в этом случае вопрос правильно помечен как большой рисунок, и мой ответ ниже не по теме, или вы имеете в виду его в некотором техническом смысле («приложения и «Последствия логических парадоксов в информатике»), и в этом случае ваш вопрос должен быть помечен как lo.logic, а не как общая картина. Или вы имеете в виду нечто совсем другое, о чем мы, четверо комментаторов, не догадались!

— Роб Симмонс

4

Противоречивость - это функция времени. Тот факт, что так много разных вопросов являются NP-полными, был, несомненно, нелогичным перед работой Карпа, как и тот факт, что каналы имеют определенную информационную емкость до Шеннона. Однако сейчас люди привыкли к этим результатам.

— Питер Шор

28

Я нахожу факт, что сетевой поток полиномиального счетчика времени интуитивно понятен. На первый взгляд это кажется намного сложнее, чем многие проблемы NP-Hard. Иными словами, в CS есть много результатов, где время их решения намного лучше, чем вы ожидаете.

— Сариэль Хар-Пелед
источник

6

То же самое: я попросил студентов прокомментировать неинтуитивность сетевого потока, и даже тот факт, что сопоставления могут быть сделаны за раз, кажется удивительным.

— Суреш Венкат

9

Я не совсем согласен. Поток сети может быть легко сведен к линейному программированию, поэтому вы утверждаете, что линейное программирование на языке P нелогично. Может быть. Но двойственность показывает, что LP находится в NP и co-NP, что, по крайней мере, говорит о том, что это может быть не так сложно. Что менее интуитивно понятно, так это то, что min-cut разрешима в P, потому что это, естественно, не является «дробной» проблемой.

— Чандра Чекури

21

Семейство противоречивых результатов - это целое семейство результатов «докажи верхнюю границу, чтобы доказать нижнюю границу». Meyer результат , что означает является одним из примеров этого, и это пришло мне в голову от GCT работы как Кетан Малмули, а также недавний результат Райана Уильямса , который снова используется верхний граница для ЦЕПИ-САТ , чтобы доказать нижнюю границу для в терминах . $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$ $\mathsf{EXP} \not\subseteq \mathsf{P}/poly$ $\mathsf{NEXP}$ $\mathsf{ACC}$

— Суреш Венкат
источник

Суреш, пожалуйста, дайте ссылку на результат Мейера.

— Мухаммед Аль-Туркистани

1

Я не знаю, есть ли прямая ссылка. В статье Карпа-Липтона ( faculty.cs.tamu.edu/chen/courses/637/2008/pres/ashraf.pdf ) Мейер приписывает этот результат, но цитирования нет.

— Суреш Венкат

20

SAT имеет алгоритм полиномиального времени, только если P = NP. Мы не знаем, P = NP. Тем не менее, я могу записать алгоритм для SAT, который имеет полиномиальное время, если P = NP истинно. Я не знаю правильную ссылку для этого, но страница в Википедии дает такой алгоритм и кредиты Левин.

— mikero
источник

5

Точно так же у нас есть доказуемо оптимальный алгоритм для факторинга, который выполняется за полиномиальное время, если факторинг находится в P, но мы не знаем, находится ли факторинг в P (или как анализировать время выполнения этой оптимальной функции).

— Росс Снайдер

9

Обычно это называют «универсальным поиском Левина», и правильная ссылка: Л. Левин, Универсальные проблемы перечисления. Проблемы передачи информации, 9 (3): 265-266, 1973 (перевод с русского). Это та же статья, в которой Левин ввел NP-полноту (см. Также Cook & Karp, но, насколько мне известно, ни один из них не ввел понятие оптимального алгоритма универсального поиска). Английский перевод можно найти в известном опросе Трахтенброта: doi.ieeecomputersociety.org/10.1109/MAHC.1984.10036

— Джошуа

18

Вычислительность, безусловно, винит большинство студентов Прекрасный пример с высокой частотой путаницы:

$f(n) := \begin{cases}1, \quad \pi \text{ has } 0^n \text{ in its decimals} \\\\ 0, \quad else\end{cases}$

Является ли вычислимой? $f$

Ответ - да; смотрите обсуждение здесь . Большинство людей сразу пытаются построить с нынешними знаниями. Это не может работать и приводит к воспринимаемому парадоксу, который на самом деле просто тонкость. $f$

— Рафаэль
источник

7

Мне кажется, что это одна из тех проблем, где вся ее хитрость заключается в том, как она изложена. Это немного напоминает мне взятие алгоритма, указание на то, что n является некоторой константой, и провозглашение того, что алгоритм теперь работает за постоянное время. Трудный вопрос, который люди обычно думают, вы спрашиваете, можем ли мы написать программу, которая либо докажет, что pi содержит строку 0 ^ n для всех n, либо которая определит наибольшее n, для которого это верно.

— Джозеф Гарвин

4

Конечно, но тот факт, что они так думают, не иллюстрирует хитрость формулировки функции, но то, что люди не понимают разницу между существованием и конструированием.

— Рафаэль

18

Один удивительный и противоречивый результат состоит в том, что , доказанное с помощью арифметизации примерно в 1990 году. $IP = PSPACE$

Как выразились Арора и Барак (стр. 157): «Мы знаем, что одно только взаимодействие не дает нам никаких языков за пределами NP. Мы также подозреваем, что одна только рандомизация не добавляет значительных возможностей к вычислениям. взаимодействие обеспечивают?

Видимо совсем немного!

— Гек Беннетт
источник

13

Как сказал Филипп, теорема Райса является хорошим примером: перед изучением вычислимости интуиция заключается в том, что в вычислениях обязательно должно быть что- то, что мы можем вычислить. Оказывается, мы можем вычислить что-то только для некоторых вычислений.

— Максимум
источник

13

Как насчет публикаций Мартина Эскардо, показывающих, что существуют бесконечные множества, которые можно исчерпывающе обыскать за конечное время? См. Гостевой блог Эскардо в блоге Андрея Бауэра, например, на тему «На первый взгляд невозможные функциональные программы» .

— Доминик Маллиган
источник

12

Теорема о рекурсии, безусловно, кажется нелогичной, когда вы впервые ее видите. По сути, это говорит о том, что когда вы описываете машину Тьюринга, вы можете предположить, что она имеет доступ к своему собственному описанию. Другими словами, я могу создавать машины Тьюринга, например:

TM M принимает n, если n кратно числу раз, которое "1" появляется в строковом представлении M.

TM N принимает число n и выдает n копий самого себя.

Обратите внимание, что здесь «строковое представление» относится не к неформальному текстовому описанию, а к кодированию.

— Марк Рейтблатт
источник

11

Доказательство теоретико-информационных результатов, основанных на теоретико-сложных предположениях, является еще одним нелогичным результатом. Например, Bellare et al. в своей работе (Истинная) сложность статистического нулевого знания конструктивно доказала, что при допущении о сертифицированном дискретном журнале любой язык, который допускает статистическое нулевое знание с достоверным проверяющим, также допускает статистическое нулевое знание.

Результат оказался настолько странным, что удивил авторов. Они указывали на этот факт несколько раз; например, во введении:

Учитывая, что статистическое нулевое знание является вычислительно независимым понятием, несколько странно, что свойства о нем могут быть доказаны в предположении о вычислительной неразрешимости.

PS: более сильный результат был позже безоговорочно доказан Окамото ( О взаимосвязях между статистическими доказательствами нулевого знания ).

Описание некоторых терминов

Поскольку приведенный выше результат включает в себя много криптографического жаргона, я стараюсь неформально определять каждый термин.

$p$ $p-1$
Нулевое знание : протокол, который не дает знания ограниченным полиномиальным временем сторонам.
Знание статистического нуля: протокол, который не дает никакой информации, даже неограниченным в вычислительном отношении сторонам, за исключением случаев, когда вероятность ничтожна.
Честный-проверяющий с нулевым знанием: протокол, который не дает никаких знаний сторонам, ограниченным полиномиальным временем, если они действуют так, как указано в протоколе.

— М.С. Дусти
источник

11

Как насчет того факта, что вычислительный перманент является # P-Complete, но является компьютерным детерминантом - так случается, что более странная операция происходит в классе NC?

Это кажется довольно странным - так быть не должно (или, может быть, так и было ;-))

— Акаш Кумар
источник

7

Задача линейного программирования разрешима за (слабо) полиномиальное время. Это кажется очень удивительным: почему мы можем найти одну среди экспоненциального числа вершин многомерного многогранника? Почему мы смогли бы решить проблему, которая настолько смехотворно выразительна?

Не говоря уже о всех линейных программах экспоненциального размера, которые мы можем решить, используя метод эллипсоидов и разделительные оракулы, а также другие методы (добавление переменных и т. Д.). Например, удивительно, что LP с экспоненциальным числом переменных, таких как релаксация Кармакара-Карпа бин-упаковки, может быть эффективно аппроксимирована.

— Сашо Николов
источник

2

Тот факт, что существует экспоненциальное количество решений, не является уникальным для LP. Большинство задач дискретной оптимизации имеют ту же особенность, но у них есть алгоритмы многократного использования, не так ли? LP является частным случаем выпуклой оптимизации, где локальный оптимум является глобальным оптимумом. Мы также можем решить проблему выпуклой оптимизации по модулю эпсилон из-за нерациональности и других технических причин. Для LP, благодаря комбинаторной структуре, можно перейти от решения этой небольшой ошибки к вершине, которая дает точное решение. Эквивалентность разделения и оптимизации удивительна, хотя.

— Чандра Чекури

2

@ChandraChekuri Я имел в виду, что проблема многомерного геометрического поиска кажется сложной, но, конечно, есть и веские причины, по которой это не так (выпуклость). Я, вероятно, должен подчеркнуть эквивалентность разделения и оптимизации вместо этого. Там много неожиданных последствий, например, решение сложных задач оптимизации на идеальных графиках.

— Сашо Николов

3

Всякий раз, когда я преподаю автоматы, я всегда спрашиваю своих учеников, не находят ли они удивительными, что недетерминизм не добавляет силы автоматам с конечным состоянием (то есть, что для каждого NFA существует эквивалент - возможно, намного больший - DFA). Около половины школьных отчетов удивлены, так что поехали. [Я сам потерял «чувство» к тому, что удивительно на начальном уровне.]

$R\neq RE$

— Арье
источник

1

Я нашел простую криптосистему с открытым ключом с механизмом дешифрования с двойным люком и ее применения парадоксальной, потому что это адаптивно выбранная безопасная схема шифрованного текста, которая гомоморфна.

— Ясир Собхдел
источник