Пограничное разбиение кубических графов на когти и пути

Опять проблема с разделением ребер, сложность которой мне интересна, мотивированная предыдущим моим вопросом .

Вход: кубический граф$G=(V,E)$

Вопрос: есть ли разбиение на , так что подграф, индуцированный каждым является либо когтем (то есть , часто называемым звездой), либо путём ( т.е. )?E 1 , E 2 , … , E s E i K 1 , 3 3 P $E$$E_1, E_2, \ldots, E_s$$E_i$$K_{1,3}$$3$$P_4$

Мне кажется, я однажды видел статью, в которой эта проблема оказалась NP-полной, но я больше не могу ее найти, и я не помню, применялся ли этот результат к кубическим графам. По смежному вопросу я знаю, что разбиение ребер двудольного графа на когти является NP-полным (см. Дайер и Фриз ). У кого-нибудь есть ссылка на проблему, которую я описываю, или что-то связанное (то есть та же самая проблема на другом классе графов, которую я мог бы затем попытаться свести к кубическим графам)?

Это не ответ на сложность проблемы, но, по крайней мере, показывает, что сложность может быть нетривиальной: это пример кубического графа, который нельзя разбить на пути и когти.

_{(источник: uci.edu )}

В каждом из трех лепестков любое разбиение на пути и когти может использовать только шесть из семи ребер. Остальные шесть центральных ребер принимают форму когтя, каждый из которых разделен на части, которые нельзя разделить на дорожки и когти.

ETA : приведенный выше график более известен как пример кубического графа без идеального соответствия. Но каждый кубический граф с идеальным соответствием имеет разложение на пути (даже без использования когтей). По теореме Кёнига это включает в себя все кубические двудольные графы, а по теореме Петерсена это включает все кубические графы без мостов, отвечая на вопрос Иосифа Малкевича в комментариях.

Доказательство очень простое: если M - идеальное совпадение в кубическом графе, удаление M оставляет 2-регулярный граф, то есть несвязное объединение циклов. Ориентируйте каждый цикл произвольно и прикрепите каждое ребро uv из M к ребрам цикла, которые следуют за u и v в ориентациях их циклов.

В другом направлении, если существует разложение на пути, то существует идеальное соответствие: средние ребра каждого пути должны совпадать, поскольку никакие два средних ребра не могут иметь общую вершину степени три.

(Отказ от ответственности: эта идея, возможно, уже присутствовала в приглашенном выступлении Карстена Томассена на GD 2010, посвященном проблеме разложения графов такого типа.)

(дополнение к заявлению об отказе от ответственности (от Энтони Лабарре): «идея ориентации» перехода от идеального соответствия к разбиению по путям появляется в этой статье Юнгера, Рейнельта и Пуллибланка , которые приписывают это WH Каннингему.)

$k$$k\geq 3$$k=3$$2$$3$

На самом деле это был не конец истории: если кубический граф является двудольным, то легко разделить его набор ребер, используя только когти, выбрав один набор двудольных и сделав его набором «центров когтя». Общая проблема действительно трудна, что может быть доказано с помощью снижения УДОВОЛЬСТВИЯ CUBIC PLANAR MONOTONE 1-IN-3. Все детали в свободном доступе на arxiv .

Возможно, эта статья может представлять интерес:

Кляйншмидт, Питер. Регулярные разбиения регулярных графов. Канадский Математика Bull. 21 (1978), нет. 2, 177–181.

Он имеет дело с графами, которые можно записать как объединение "Z-путей" длины 3. (В частности, плоские, 3-валентные, 3-связные графы-кубические 3-многогранники.)