Есть ли простая игра с асимметричной сложностью?

Рассмотрим полную информацию о комбинаторных играх для двух игроков, которые заканчиваются после полиномиального числа ходов, и поочередно игроки выбирают из конечного числа разрешенных ходов. Обычный вопрос в том, насколько сложно с определенной позиции отличить победителя. Другой будет, как трудно выбрать выигрышный ход из выигрышной позиции. (Здесь я называю ход выигрышным, если позиция остается выигрышной после игры.) Чтобы провести различие, я назову первую СЛОЖНОСТЬ ПОЗИЦИИ, а последнюю - СЛОЖНОСТЬ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ.

$P$ $PSPACE$ $NP$ $P^{NP}$

Существует ли естественная игра, в которой СВОЙСТВО ПЕРЕМЕЩЕНИЯ двух игроков отличается?

Например, игра, в которой первый игрок выбирает значения переменных CNF (которые могут не иметь решения), а второй игрок пытается решить головоломку SOKO-BAN (которая может не иметь решения), такой пример.

cc.complexity-theory np board-games pspace

— domotorp
источник

Мне очень нравится этот вопрос.

— Tayfun Pay

Я не знаю, если игра QBF удовлетворяет вашим условиям, один игрок - экзистенциальный игрок, другой - универсальный игрок. Ну, многие игры в похожей форме. Я думаю, что если между игроками нет зависимости, то игра не является игрой для двух игроков, но если между ними есть зависимость, то (смутно говоря) есть некоторые интерпретации, похожие на стиль QBF.

— Саид

Это побочное замечание, но большинство естественных игр (в том смысле, что в них играют в реальном мире, таких как шахматы, иди ...) не заканчиваются после полиномиального числа ходов, а скорее экспоненциально (в худшем случае). Есть ли у вас особая причина для добавления этого ограничения, помимо получения полиномиальной связи между MOVE-COMPLEXITY и POSITION-COMPLEXITY?

— Денис

Возможно, можно создать семейство примеров, расслабляющих условия победы одного из двух игроков: например, шахматный матч, в котором белые выигрывают со стандартным матом, а черные выигрывают с матом или захватывают белую королеву. Другим примером может быть GG с узлами, окрашенными в красный и синий цвета, и один из двух игроков может выиграть не только стандартным способом, но и собрать определенное количество красных узлов. Я подумаю больше о возможных формализациях подобных примеров.

— Марцио Де Биаси

Если в игре нет ничьих (и разумно ограниченное количество возможных ходов за ход), означает ли следующий факт ответ «нет»? Ход выигрывает тогда и только тогда, когда ни один из ответов оппонента на него не выигрывает.

— Усул

Ответы:

Возможно, довольно естественная игра заключается в следующем:

Игрок 1 находится в середине лабиринта и должен достичь выхода, чтобы выиграть.

Игрок 2 находится в том же лабиринте и должен собрать набор «компонентов», чтобы построить радиоконтроллер, который позволит ему закрыть выход (и выиграть).

$n$ $n$

Чтобы сделать игру более «интерактивной», мы также можем добавить некоторые дополнительные действия для игрока 2, которые могут вызвать только полиномиальное замедление в расчете следующего хода для игрока 1; например, разрешив ему заблокировать фиксированное количество коридоров лабиринта.

— Марцио де Биаси
источник

$C$

Тогда достаточно взглянуть на некоторые естественные игры, в которых ПОЗИЦИОННО-СЛОЖНОСТЬ асимметрична. Нам всегда понадобится некоторая асимметрия между игроками, чтобы создать такие ситуации, но, надеюсь, это будет настолько естественно, насколько это возможно.

$\cap$ coNP for the full player, depending on the complexity of the winning condition. See here for a reference on the subject.

I think from this we can design a game played in finite time where one player has partial observation, and the other full observation, and the POSITION-complexity as well as MOVE-complexity are very different. Natural try is partitioning vertices in $P_1$ and $P_2$ and setting the winning condition to "play $p(n)$ moves, Player $i$ wins if we end in partition $P_i$ ".

— Denis
источник

I would argue it's unlikely that "finite" means "constant" here.

— Kyle

In fact, in the so-called Picker-Chooser or Chooser-Picker games it is easy to construct examples for which one player's best strategy is a simple pairing strategy, while the other has to solve a 3-SAT on any CNF specified before, that is an NP-complete problem.

Say, a Picker-Chooser games is an asymmetric game on an hypergraph H=(V, E): Picker picks two unselected elements of V, then Chooser takes one of these, and returns the other to Picker. Chooser wins iff he gets all elements of an A from E. Now given a CNF formula F from 3-SAT, V is the set of literals, and E realizes some gadget. All in all, Picker must always offer x_i and x_i negate in all steps (otherwise loses immediately), while Chooser selection is an arbitrary 0-1 input for any x_i, and he wins by satisfying F.

See the details in: A. Csernenszky, R. Martin and A. Pluhár, On the Complexity of Chooser-Picker Positional Games. Integers 11 (2011).

or at: http://www.inf.u-szeged.hu/~pluhar/complexity_2011.pdf

— Andras Pluhar
источник