Последствия вариантов гипотезы Римана в TCS

Более чем 1,5-летняя гипотеза Римана имеет глубокие следствия в математике, и большое доказательство математической теории в настоящее время доказано условно и многочисленными вариантами. Недавно я наткнулся на ссылку на условный результат в TCS, основанный на гипотезе Римана. Поэтому мне интересно,

Каковы основные последствия гипотезы Римана в TCS?

В качестве начала приведем пример из недавней статьи « Полиномы гомоморфизма», завершенные для VP Дюраном, Махаджаном, Малодом, де Руджи-Альтерром и Саурабом. Из введения статьи:

Один из наиболее важных открытых вопросов в теории алгебраической сложности - решить, различны ли классы VP и VNP. Эти классы, впервые определенные Валиантом в [13, 12], являются алгебраическими аналогами классов булевой сложности P и NP, и их разделение необходимо для отделения P от NP (по крайней мере, неравномерно и предполагая обобщенную гипотезу Римана, над полем , [3]).$\mathbb{C}$

Во-первых, я не знаю ни о каком применении CS гипотезы Римана как таковой. Существуют различные применения обобщений RH.

Во-вторых, терминологическая справка: вопреки распространенному мнению, не существует такой вещи, как «обобщенная гипотеза Римана» или «расширенная гипотеза Римана». Оба эти термина используются более или менее взаимозаменяемо в литературе как свободное обозначение любого рода обобщений RH на некоторый класс -функций. Они не имеют определенного определенного значения или, по крайней мере, не являются единообразными в работах разных авторов (или даже в разных работах одного и того же автора).$L$

Результат, упомянутый в ОП, основан на результате Койрана о том, что экзистенциальная теория (которая обычно идет под запутанным названием «Nullstellensatz Гильберта») находится в AM, и, следовательно, в полиномиальной иерархии. Он принимает RH для Дедекинда г -функции; в частности, он опирается на эффективный вариант теоремы плотности Чеботарева.$\mathbb C$$\zeta$

Другой класс приложений CS использует тот факт, что каждый нетривиальный квадратичный символ Дирихле по модулю принимает χ ( x ) = - 1 для некоторого x = O ( ( log m ) 2 ) , первоначально из-за Ankeny, часто утверждается со ссылкой на Баха, который улучшена константа в О- нотации. Он основан на RH для L -функций квадратичных характеров Дирихле, который слабее, чем у Дедекинда $m$$\chi(x)=-1$$x=O((\log m)^2)$$O$$L$$\zeta$-функции. (Результат на самом деле имеет место в более общем случае для символов Гекке конечного порядка, и в полной общности ему требуется RH для функций упомянутых символов Гекке, что фактически эквивалентно RH для ζ- функций Дедекинда . Однако приложения CS Я знаю, что в этом нет необходимости.) В результате можно дерандомизировать несколько алгоритмов, таких как алгоритм тестирования примитивности Миллера-Рабина или алгоритм Шенкса-Тонелли для вычисления квадратных корней по модулю простых чисел.$L$$\zeta$

Насколько я знаю, RH является не полезно детерминировано найти простые числа в заданном интервале, как упомянуто в комментарии выше. Это следовало бы из гипотезы Крамера или аналогичной оценки простых промежутков, но RH слишком слаба, чтобы доказать такие оценки (ошибочный член в теореме о простых числах, по крайней мере, порядка примерно ни на что).$\sqrt x$

Предполагая расширенную гипотезу Римана, Л. М. Адлеман и Х. В. Ленстра дали алгоритм полиномиального времени, чтобы найти неприводимый полином требуемой степени над конечным полем: http://www.math.leidenuniv.nl/~hwl/PUBLICATIONS/1986a/art .pdf