Перечисление плоских графов ограниченной ширины дерева

Я ищу ссылки на следующую задачу: с учетом целых чисел и перечислить все неизоморфные плоские графы по вершинам и ширине дерева . Меня интересуют как теоретические, так и практические результаты, но в основном практические алгоритмы, которые можно кодировать и запускать для максимально больших значений и (подумайте, и ). Если у вас уже есть ответ, не обращайте внимания на сообщения ниже. $n$ $k$ $n$ $\leq k$ $n$ $k$ $k \leq 5$ $n \leq 15$

Следующий подход работает нормально для перечисления всех неизоморфных графов по вершинам и ширине дерева (т.е. когда ограничение планарности сброшено): $n$ $\leq k$

(a) Перечислите все неизоморфные графы по вершинам и ширине дерева . $n-1$ $\leq k$

(b) Для каждой вершины на вершинах и ширине дерева , каждой клике на вершинах в и каждом подмножестве ребер в , сделайте из , добавив новую вершину примыкает к . Добавьте в список грахов по вершинам и ширине дерева . $G$ $n-1$ $\leq k$ $C$ $\leq k$ $G$ $S$ $C$ $G'$ $G - S$ $v$ $C$ $G'$ ${\cal L}$ $n$ $\leq k$

Заманчивый способ расширить это для перечисления плоских графов treewidth - просто отфильтровывать непланарные графы на каждой итерации. К сожалению, это не в состоянии генерировать все плоские графы с шириной дерева (например, потому что он перечисляет только вырожденные графы). $\leq k$ $\leq k$ $4$

Конечно, мы могли бы перечислить все графы по вершинам и ширине дерева и только затем отфильтровать неплоские, но это не позволяет использовать большинство графов неплоских и кажется очень неоптимальным. $n$ $\leq k$

— Даниелло
источник

Вы уверены, что хотите реализовать это и проверить результат? Количество неизоморфных деревьев уже экспоненциально.

— Саид

@Saeed: конечно - для 20 узлов число деревьев меньше миллиона, поэтому я ожидаю, что это будет возможно по крайней мере для .

n \leq 15

$n \leq 15$

— Даниелло

как насчет того, чтобы начать с вершинных хордальных графов с максимальным размером клики и удалить ребра, чтобы сделать их плоскими?

n

$n$

k + 1

$k + 1$

— Исинь Цао

@Yixin Cao, это похоже на перечисление графов + их разложение по дереву (то есть один и тот же граф виден один раз на одно дерево). Пока что это было довольно медленно (но некоторая оптимизация могла бы сделать этот подход жизнеспособным)

— Даниелло

@daniello, я понимаю вашу точку зрения, но вы видели это приложение: cs.anu.edu.au/~bdm/plantri , они утверждают, что могут генерировать 1M планарные графы в секунду (относительно изоморфизма). (это не совсем то, что вы хотите, хотя, для 1-2-3 связанных плоских графов это кажется идеальным, хотя не так много 4-5 связанных плоских графов на 15 вершинах).

— Саид

Ответы:

Есть хорошее программное обеспечение, которое генерирует маленькие плоские графы относительно изоморфизма, которые могут помочь. Как я вижу, одной из проблем была генерация неизоморфных плоских графов, и большинство из этих плоских графов (менее чем на 15 вершинах) имеют небольшую ширину дерева.

Для проверки того, меньше ли их ширина дерева, чем заданное значение , можно использовать эвристические алгоритмы для ускорения этого вычисления, только в том случае, если точные алгоритмы не практичны. например, в плоском графе сначала мы можем найти диаметр и соответствующий путь длины (который является диаметром). Тогда найти вершину , который имеет кратчайшее наибольшее расстояние ( ) в любую другую вершину среди всех вершин . Ширина дерева не более , если она меньше $k$ $G$ $G$ $P$ $d$ $v\in P$ $l$ $u\in G\setminus P$ $w\in P$ $G$ $d+l$ $k$ тогда мы закончим, либо применяем некоторые другие эвристические алгоритмы, либо запускаем точный алгоритм.

Для менее чем трехсвязных графов также возможно применить эвристику путем нахождения вершин среза, а затем исправления этих вершин и определения ширины дерева оставшегося графа. Но так как число узлов мало ( ), если граф соединен, то диаметр не большой, и я думаю, что первая эвристика должна работать там. (Я не знаю, существует ли 5-ти связный плоский граф не более чем в 15 вершинах, но, как мы знаем, связного плоского графа не существует при ) $15$ $4$ $t$ $t>5$

Поскольку размер наибольшего обструкции для ширины дерева не известно , мы не можем просто угадать UpperBound значения древесной ширины данного графа . Но, похоже, что, по крайней мере, для плоских графов он не должен быть таким большим (нужно это доказать). $k$ $G$

— Saeed
источник

Можно перечислить все пары где - плоский граф с шириной трёх не более , - мешок размера такой, что существует дерево-разложение с в качестве пакета. $G,B$ $G$ $k$ $B$ $k$ $G$ $B$

Теперь для каждой пары где имеет вершин, мы строим новый граф для каждого подмножества в , добавляя вершину с качестве соседей, и пусть будет подмножеством размера из , Добавьте если плоско и не изоморфно любой паре, уже найденной. $G,B$ $G$ $n-1$ $G'$ $S$ $B$ $v$ $S$ $B'$ $k$ $B \cup v$ $G',B'$ $G'$

Простая верхняя граница количества записей, которое нужно сохранить, раз, сколько перечислимых графов, но это пессимистическая граница. Для большинства графиков ширины дерева k большинство подмножеств размера k не может содержать сумку, например, сетка имеет только возможных сумок. $n \choose k$ $k \times n$ $n \cdot 3^{k-1}$

Я полагаю, что это будет работать так же хорошо, как алгоритм для неплоских графов, поскольку для каждой пары G, B мы получаем граф, делая B кликой, большинство этих графов будет неизоморфным.

Есть несколько приемов, которые можно применить, чтобы ускорить это, я бы посоветовал изучить: http://www.siam.org/meetings/alenex04/abstacts/HBodlaender.pdf

— Мартин Ватшелле
источник

Не будут ли все перечисленные графы иметь ограниченную ширину пути, а не ширину пути?

— Даниелло

Я думаю, вы правы. выбор B 'слишком ограничен.

— Мартин Ватшелле