Минимальная спецификация теории типа Мартина-Лёфа

Я читаю официальное представление теории типов Мартина-Лёфса (приложение к книге HoTT ). Авторы вводят иерархию вселенных, затем а также W- типы, а также натуральные числа N (индуктивно через 0 и s u c c ). В конце концов они также добавляют более высокие индуктивные типы.$\Pi, \Sigma,+, {\bf 0}, {\bf 1}$$W$$\mathbb N$$0$$succ$

Но тогда я удивляюсь, почему нужно делать в спецификации теории. Разве 1 и + и алгебраических типов данных в воплощении с W- типами не достаточно для их настройки? Например, с начальным подходом алгебры . (Или , по крайней мере , после того, как мы переходим от MLTT к HOTT имеют индуктивные типы - в конце концов, целые числа Z возникают как гомотопической группы типа окружности S в теории) .$\mathbb N$${\bf 1}$$+$$W$$\mathbb Z$$\mathbb S$

Или это связано с нашей необходимостью иметь примитивную рекурсию с самого начала, которая определяется прямо рядом с в презентации? Это идея, которая у меня есть, потому что я не совсем знаю, как «определяется» в этой структуре или как формально работает расширение языка. Я мог бы добавить, что я признаю, что по крайней мере неформальное понятие чисел и «больше» используется уже при определении иерархии вселенных.$\mathbb N$

В случае, если можно сэкономить а спецификация не является минимальной, есть ли другие элементы, которые можно, в принципе, отбросить? Например, я мог представить 2, а затем +, исходя из некоторой комбинации Π , Σ , 0 , 1 , но я не смог этого сделать.$\mathbb N$$\bf 2$$+$$\Pi, \Sigma, {\bf 0}, {\bf 1}$

Цель системы, описанной в приложении к книге HoTT, состоит в том, чтобы представить то, что соответствует книге. Книга стремится быть образовательной. Поэтому было бы плохой идеей делать все в минималистском стиле. Например, мы вводим отдельно, потому что это полезно, чтобы увидеть, как индуктивные конструкции работают в знакомом случае.$\mathbb{N}$

Вы совершенно правы, чтобы начать индуктивные типы из общих типов, вам просто нужно 0 и 2 . Вы сразу получаете 1 при 0 → 0 и получаете + от 2 и Σ . Получив это, вы получите все конечные суммы 1 + 1 + ⋯ + 1 . На этом этапе легко сделать обычные алгебраические типы данных.$W$$0$$2$$1$$0 \to 0$$+$$2$$\Sigma$$1 + 1 + \cdots + 1$

Если вы отбросите и начнете с Π , Σ , 1 и 2 , вы не сможете получить 0 обратно, потому что каждый ваш тип будет заселен.$0$$\Pi$$\Sigma$$1$$2$$0$

Предположим, у вас есть только , Σ , 0 и 1 . Тогда вы не можете сделать 2, потому что вы можете показать, что каждая построенная вами конструкция возвращает вам либо 0, либо 1 . На самом деле, вы вообще не можете создавать никаких интересных зависимых семей. Большее семейство типов, замкнутое по Π , Σ , 0 и 1 , но не содержащее 2, является ( - 1 ) -типами (предложениями).$\Pi$$\Sigma$$0$$1$$2$$0$$1$$\Pi$$\Sigma$$0$$1$$2$$(-1)$