Обычные языки закрыты при добавлении?

Конкретно, что я имею в виду под сложением, мы определяем как алфавит . Учитывая регулярные языки и под некоторым алфавитом , смотреть на . $\Sigma_i$ $\{0, 1, 2, ..., i\}$ $A$ $B$ $\Sigma_i$ $A\times B$

Для каждой упорядоченной пары определите «сумму» этой упорядоченной пары как , где и - числа в базе i. Лидирующие 0 игнорируются, поэтому перед каждой принятой строкой. Это означает, что определяется как 0. $(a, b) \in A\times B$ $a+b$ $a$ $b$ $0^*$ $\epsilon$

Язык - это набор строк, представляющих все возможные суммы. $A+B$

До сих пор я знаю:

Это верно в ( ). $\Sigma_1$
Это верно для любых конечных регулярных языков и , потому что любой конечный язык является регулярным, а конечным. $A$ $B$ $A+B$
Язык = ss кратно n в базе b в регулярно для любого . Это означает, что любые языки вида также могут быть добавлены, как , что также является регулярным. Однако есть такие языки, как = ss начинается и заканчивается 1}, который не соответствует этим критериям, поэтому он не описывает все обычные языки. $C_n$ $\{$ $|$ $\}$ $\Sigma_b$ $b >= 1$ $C_n$ $C_i+C_j=C_{i + j}$ $D$ $\{$ $|$

automata-theory

— Phylliida
источник

Неверно, что если A является регулярным в базе 2, оно также является регулярным в базе 3, рассмотрим, например, степени 2.

— domotorp

Понятно, ты прав. Я отредактировал вопрос соответственно. Я пытался доказать это, и это казалось правдой, а потом я неправильно понял, что такое гомоморфизм, и предположил, что это правда. Но это не так, извините за это. Если язык регулярен в базе b ^ a для некоторого a> 1, то он также регулярен в любой другой базе b ^ (ac) для любого 1 <= c <a. (так, например, если язык является базовым в базе 8, он также является регулярным в базе 4 и 2, просто имитируя базовый dfa 8).

— Phylliida

«Это означает, что ϵ определяется как 0». Я не понимаю, что это значит. Если 0 и ϵ одинаковы, то все 0 можно удалить, и интерпретация чисел больше не работает.

— Бабу

Дело в том, что если пустая строка ϵ находится в упорядоченной паре, она добавляет 0 к другой строке. Также для любой заданной строки, которая имеет ведущие 0, они могут быть удалены. Это означает, что 000101 такой же, как 101, например. Это то , что я имел в виду, если а £ появляется в строке сама по себе , чем это эквивалентно стоимости по отношению к сумме , как 0, или 00, или 000 сами по себе . Если эти строки находятся в другой строке, все ставки отключены, и эта замена больше не действительна.

— Phylliida

Ответы:

Да.

Сначала рассмотрим алфавит , символы которого представляют собой тройки цифр (сложенных друг над другом в стопку из трех цифр). Над этим алфавитом мы можем определить обычный язык где строка, образованная самой верхней из трех цифр, принадлежит , обычный язык где строка, образованная серединой трех цифр, принадлежит , и обычный язык где две верхние строки суммируются с нижней. и просто используют модифицированные автоматы для и , а $\Sigma_i^3$ $A'$ $A$ $B'$ $B$ $C$ $A'$ $B'$ $A$ $B$ $C$ использует тот факт, что вы можете делать сложение, сканируя справа налево, сохраняя только одну цифру переноса в качестве состояния.

$A'\cap B'\cap C$ $A$ $B$

— Дэвид Эппштейн
источник

Это действительно круто. Я не понимал, что вы можете использовать эти стеки таким образом. Спасибо!

— Phylliida

По общему признанию это немного сомнительно, потому что в этом случае он содержит только суммы строк одинакового размера, однако, потому что мы можем «смоделировать» суммы строк разных размеров, добавляя нули слева, и просто изменить dfa в другая dfa, которая распознает 0 * перед всеми принимающими строками (когда вы создаете суммирующую dfa для распознавания C с гомоморфизмом).

— Phylliida

Я предполагаю, что самый большой ключ в том, что A и B должны быть «технически модифицированы» таким же образом, чтобы быть 0 * A и 0 * B, и как только мы сделаем это, достаточно для каждой пары a и b найти сумма 0 * a + 0 * b st. Оба значения имеют достаточные начальные 0, чтобы соответствовать размерам, и затем результат может быть удален из 0 по мере необходимости, поскольку C изменяется таким же образом. Это подразумевалось, или есть более простой способ посмотреть на то, что мне не хватает?

— Phylliida

Да, есть некоторые технические аспекты, касающиеся заполнения, но они не меняют базовые идеи, поэтому я их пропустил.

— Дэвид Эппштейн

Круто, это имеет смысл.

— Phylliida

$A$ $B$ $M_A$ $M_B$ $a$ $b$ $M_A$ $M_B$ $M_A$ $M_B$

— domotorp
источник