-полная задача с квазиполиномиальной оценкой числа решений

FewP - это класс -задач с полиномиальной оценкой числа решений (во входном размере). Там нет никакого известного -полные проблемы в . Мне интересно, как далеко мы можем расширить это наблюдение. $NP$ $NP$ $fewP$

Существует ли естественная -полная проблема с квазиполиномиальной верхней оценкой числа решений (свидетелей)? Есть ли общепринятая гипотеза, которая исключает такую возможность? $NP$

Естественный означает, что проблема не является искусственно созданной проблемой, чтобы ответить на вопрос (или аналогичные), и люди интересуются проблемой независимо (как определено Каве).

РЕДАКТИРОВАТЬ: Щедрость будет присуждаться за такую естественную -полную проблему или разумный аргумент, исключающий существование таких проблем (используя широко принятые гипотезы теории сложности). $NP$

Мотивация: Моя интуиция заключается в том, что -полнота накладывает суперполиномиальную (или даже экспоненциальную) нижнюю границу числа свидетелей. $NP$

cc.complexity-theory np

— Мухаммед Аль-Туркистани
источник

Проблема обещание UniqueSAT в

(не то же самое , как

), который является подмножеством

(не то же самое , как

) ,

P r o m i s e U P

$\mathsf{PromiseUP}$

U P

$\mathsf{UP}$

P r o m i s e F e w P

$\mathsf{PromiseFewP}$

F e w P

$\mathsf{FewP}$

— Джошуа Грохов

Будет ли дополнение SAT ответить на ваш вопрос?

— Каве

В этом весь смысл - это не так; размер ввода - это количество битов на входе, и (разреженные) экземпляры 3-sat имеют размер

. Количество переменных является лишь одним аспектом (параметром) входных данных, поэтому для других задач (скажем, проблем с графами) нужно было бы указать, как измеряется количество свидетелей в терминах. Например, для максимального среза входной граф может иметь

ребер, и опять же есть только

свидетелей (что является субэкспоненциальным по входному размеру ). Но мы действительно хотим измерить с точки зрения

. Однако не очевидно, что #vertices - правильная мера.

m \log n

$m \log n$

n^{2}

$n^2$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

— Даниелло

@Kaveh Да, так что вы должны предположить, что Мухаммед думал о том, что имеет смысл в его вопросе. Также, как видите, сложность зоопарка согласуется с моим определением. В общем, в любом интересном классе сложности определение не должно меняться, если вы добавляете ввод полиномом.

— domotorp

@ downvoters Почему, черт возьми, люди опровергают этот вопрос? Я имею в виду, по крайней мере, кто-то может дать причину для этого ...

— Domotorp

Это очень интересный вопрос.

Сначала уточняющее замечание. Обратите внимание, что «верхняя граница числа свидетелей» не является свойством вычислительной проблемы как таковой, но конкретного верификатора, используемого для решения задачи , так же как «верхняя граница числа состояний» не будет свойство проблемы, но решающая ее машина Тьюринга. Таким образом, высказывание « проблема с верхней границей числа решений» не совсем точно, и если то у каждой задачи есть верификатор с любым количеством желаемых решений (включая ноль и включая все возможные строки) , $NP$ $NP$ $P = NP$ $NP$

Поэтому мы должны дать определение, чтобы ответить на ваш вопрос. Для , скажем, задача «имеет не более решений», если для некоторой константы существует -временной верификатор такой, что для каждой входной длины и для каждый длины , есть различные $s : {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$ $NP$ $L$ $s(n)$ $c$ $O(n^c)$ $V$ $n$ $x \in L$ $n$ длины такой, чтопринимает для всех, аотклоняет все остальныедлины . $y_1,\ldots,y_{s(n)}$ $n^c$ $V(x,y_i)$ $i$ $V(x,y)$ $y$ $n^c$

Все, что я могу сказать на данный момент, так это:

Каждый -полная проблема , которую я знаю (определяются некоторыми естественными проверяющим) имеет очевидную соответствующую версию -полным подсчета (с тем же проверяющим). $NP$ $\#P$
Для любого -полным задачи , определенной с верификатор , имеющие не более решений (или даже решений) соответствующий счет версия , вероятно, не -полная. $NP$ $poly(n)$ $2^{n^{o(1)}}$ $\#P$

Более подробно: предположим, что является -полным, с верификатором который имеет не более решений. Тогда естественный подсчет "решение" версия , который мы определяем как $L$ $NP$ $V$ $O(n^c)$ $L$

$Count_L(x) := \text{the number of $y$ such that $V(x,y)$ accepts}$

вычислим в , то есть, функция полиномиальных по с запросов к . Это потому , что решить , является ли число решений не больше находится в : свидетель, если он существует, это просто число «s делает принять, что мы знаем , что в большинстве $FP^{NP[O(\log n)]}$ $O(\log n)$ $NP$ $x$ $k$ $NP$ $y_i$ $V$ $O(n^c)$ , Тогда мы можем бинарный поиск , используя эту задачу вычислить точное число решений . $NP$ $L$

Следовательно, -полная проблема такого рода не может быть распространена на -полную проблему обычным способом, если только . Это выглядит маловероятным; вся полиномиальная иерархия времени в основном рухнет до . $NP$ $\#P$ $\#P \subseteq FP^{NP[O(\log n)]}$ $P^{NP[O(\log n)]}$

Если вы предполагаете в вышеприведенном, вы все равно получите маловероятные последствия. Вы бы показали, что можно вычислить за времени с помощью оракула Например, этого более чем достаточно, чтобы доказать, что а затем $s(n) = 2^{n^{o(1)}}$ $\#P$ $2^{n^{o(1)}}$ $NP$ $EXP^{NP} \neq PP$ $EXP^{NP} \not\subset P/poly$ , Не то, чтобы эти разделения были маловероятными, но кажется маловероятным, что они были бы доказаны с помощью алгоритма оракула времени субэкспозиции для Перманента. $NP$

Кстати, я не сказал ничего слишком проницательного здесь. В литературе почти наверняка есть такой аргумент.

— Райан Уильямс
источник

Действительно, это проницательный ответ.

— Мохаммед Аль-Туркистани