Естественные NP-полные проблемы с «большими» свидетелями

28

Вопрос о теории « Что такое NP, ограниченный свидетелями линейного размера? », Задает вопрос о классе NP, ограниченном свидетелями линейного размера , но $O(n)$

Существуют ли естественные NP-полные проблемы, в которых (да) экземпляры размера требуют свидетелей размером больше ? $n$ $n$

Очевидно, что мы можем построить искусственные проблемы, такие как:

$L = \{ 1^nw \mid w \text{ encodes a satisfiable formula and } |w|=n \}$
$L = \{ \varphi \mid \varphi \text{ is SAT formula with more than } |\varphi|^2 \text{ satisfying assignments}\}$

После быстрого взгляда на G & J, каждая естественная проблема NPC, кажется, имеет свидетелей (строго) меньше . $n$

Есть ли для этого «причина / объяснение»?

cc.complexity-theory np proof-complexity

— Марцио де Биаси
источник

1

Многие проблемы имеют размер свидетеля

, например, изоморфизм графов и гамильтонов путь. Вы хотите исключить факторы полилога, или это считается ответом?

Θ (n \log n)

$\Theta(n \log n)$

— Джошуа Грохов

12

На самом деле, размер свидетеля для изоморфизма графа и гамильтоновой траектории можно рассматривать как сублинейный на входе (учитывая, что на входе лежит матрица смежности

графа).

n \times n

$n \times n$

— Райан Уильямс

1

Ох, верно ...

— Джошуа Грохов

1

@MarzioDeBiasi Я думаю, что ваше наблюдение за маленькими свидетелями должно быть использовано для определения естественной NP-полной проблемы.

— Мухаммед Аль-Туркистани

1

@MarzioDeBiasi - я согласен, что списка удовлетворительных заданий достаточно, но можете ли вы доказать, что нет более короткого свидетельства проблемы? (возможно, краткий способ представления необходимых заданий).

— РБ

10

Как насчет числа раскраски ребер в плотном графе (он же Хроматический индекс )? Вам дана матрица смежности вершинного графа ( битный ввод), но естественный свидетель, описывающий раскраску, имеет размер . Конечно, в теореме Визинга могут быть более короткие доказательства для графов класса 1 . $n$ $n^2$ $n^2\log n$

Смотрите также этот возможно связанный вопрос

— Андреас Бьёрклунд
источник

2

Кажется, хороший пример! Замечание: проблема NP-полна даже для кубических графов; в этом случае у нас есть свидетель размера

битов достаточно (два бита для каждого ребра), что меньше

если мы используем представление матрицы смежности, и я подозреваю, что оно меньше размера экземпляра, какую бы разумную кодировку мы не использовали для кубического графа.

2 | E |

$2|E|$

n^{2}

$n^2$

— Марцио Де Биаси

8

Я столкнулся с некоторыми вполне естественными NP-полными проблемами, которые, казалось бы, требуют длинных свидетелей. Проблемы, параметризованные целыми числами и , следующие: $C$ $D$

Входные данные: одноленточный TM Вопрос: существует ли , такой, что делает больше, чем шагов на некотором входе длины ? $M$
$n\in\mathbb{N}$ $M$ $Cn+D$ $n$

Иногда дополнения к проблеме легче сформулировать: выполняется ли данный однотонный TM во время , т.е. он делает не более шагов на всех входах размера , для всех ? $M$ $Cn+D$ $Cn+D$ $n$ $n$

Полный результат представлен здесь . По сути, показано, что если мы хотим проверить, работает ли однотонная ТМ во время , нам нужно проверить это только на входах длины, ограниченной , где - количество состояний ввода ТМ. Таким образом, свидетелем будет ввод длины для которой ограничение по времени нарушается. В ссылке также показано, что эти задачи NP-полны для всех и . $Cn+D$ $q^{O(C)}$ $q$ $q^{O(C)}$ $C\geq 2$ $D\geq 1$

Теперь, если свидетель является входом, который нарушает время выполнения, он должен иметь длину в целом. И вход имеет длину . $q^{\Omega(C)}$ $O(q^2)$

— Дэвид Г
источник

3

Благодарность! Но, честно говоря, я нахожу более «естественной» (я знаю, что это не формальная концепция) проблему: «Учитывая формулу

, решите, имеет ли она хотя бы

удовлетворяющих задания» :-)

φ

$\varphi$

| φ |^{2}

$|\varphi|^2$

— Марцио Де Биаси

Я понимаю :). С другой стороны, проблема о

имеет длину свидетеля в вопросе, в то время как проблема о ТМ получает длину свидетеля в доказательстве. Более того, длина свидетеля преднамеренно не включена в проблему.

φ

$\varphi$

— Дэвид Г

7

Вот пример, который кажется естественной проблемой.

Экземпляр: целые положительные числа, и , все ограничены сверху . $d_1,\ldots,d_n$ $k$ $n$

Вопрос: существует ли -цветный граф с последовательностью степеней ? $k$ $d_1,\ldots,d_n$

Здесь вход может быть описан битами, но свидетель может потребовать битов. $O(n\log n)$ $\Omega(n^2)$

Замечание: у меня нет упоминания о том, что эта конкретная проблема действительно является NP-полной. Но требование -цветности может быть заменено любым другим NP-полным условием; проблема, вероятно, станет NP-полной для некоторого условия, если не для этого. $k$

— Андрас Фараго
источник

Для меня эта проблема имеет неправильную структуру, чтобы быть NP-полной, если P = NP. Классы графов, определяемые каждой последовательностью степеней, могут быть очень большими, и многие из них могут иметь

окрашиваемых элементов по тривиальной причине.

n

$n$

— Андрас Саламон

@ AndrásSalamon Действительно, я не знаю, какова сложность этой проблемы, или можно ли сделать ее NP-полной, выбрав подходящее условие вместо

окрашиваемости. С другой стороны, я был бы удивлен, если бы для каждого проверяемого свойства polytime

бы следующая проблема в P : существует ли граф с данной последовательностью степеней, такой, что у этого также есть свойство

?

k

$k$

Q

$Q$

Q

$Q$

— Андрас Фараго

Я согласен, что кажется маловероятным, что степень степени + свойство всегда находится в P, но, возможно, некоторые из них являются кандидатами в NP-промежуточный статус?

— Андрас Саламон

@ AndrásSalamon Да, я могу себе представить, что некоторые из них имеют статус NPI.

— Андрас Фараго

6

Может быть, это глупая «причина / объяснение», но для многих задач NP-Complete решение является подмножеством входных данных (рюкзак, покрытие вершины, клика, доминирующий набор, независимый набор, максимальное сокращение, сумма подмножества, ... ) или перестановка или присвоение подмножеству входных данных (гамильтонов путь, коммивояжер, SAT, изоморфизм графов, раскраска графов, ...).

Мы могли бы попытаться узнать больше об этом или придумать причудливую причину, но я не уверен, происходит ли что-то более глубокое или нет.

— усул
источник

Я думаю, что это действительно хорошая «первая идея». Иногда проблемы нельзя классифицировать однозначно. Например, SAT также может быть проблемой подмножества («выберите подмножество истинных переменных»). Или HAMCYCLE - проблема перестановок на вершинах или проблема подмножеств на ребрах? (Кстати, может быть, «проблемы с назначением» действительно могут быть «проблемами с разбиением», скажем, 3-цветным).

— Юхо

3

Что касается вашего первого вопроса, Аллендер утверждает (в разделе «Усиление нижних границ с помощью самовосстанавливаемости» ), что ни одна естественная NP-полная проблема, как известно, не лежит за пределами NTIME (n). Это означает, что все известные натуральные NP-комплекты имеют линейные размеры свидетелей.

— Мухаммед Аль-Туркистани
источник

1

Обратите внимание, что длина самого длинного принимающего пути в недетерминированной машине Тьюринга соответствует размеру свидетеля.

— Мухаммед Аль-Туркистани

1

Рассмотрим следующий вариант задачи MAXCLIQUE .

Экземпляр: схема с входными битами и полиномиально ограниченного размера в . Эта схема неявно определяет граф на вершинах, так что каждая вершина отождествляется с битной строкой, а две вершины связаны с ребром, если битная строка, полученная путем объединения двух ID вершин, имеет вид принята . Пусть обозначает этот граф. Обратите внимание , что она имеет экспоненциально много вершин в , но по - прежнему определяется полиномиальным описанием размеров . $C$ $2n$ $n$ $2^n$ $n$ $2n$ $C$ $G(C)$ $n$ $C$

Вопрос: содержит ли клику размером , где - фиксированная константа? $G(C)$ $n^k$ $k$

Заметки:

Проблема NP-полная. Содержимое в очевидно. Полноту можно доказать, наблюдая, что если схема принимает только пары вершин, в которых каждый ID не больше , то может быть произвольным вершинным графом плюс много изолированных вершин. (Любой такой вершинный граф может быть закодирован в , поскольку может иметь полиномиальный размер по , а значит, и по ). Тогда возникает вопрос: существует ли размерная клика в $NP$ $N=2n^k$ $G(C)$ $N$ $N$ $C$ $C$ $n$ $N$ $N/2$ $N$ -vertex graph? This is known to be NP-complete, for general $N$ . The issue that $N$ is not arbitrary, it is restricted to $N=2n^k$ , can be eliminated by appropriate padding.
The natural witness for the original problem is the $n^k$ -sized clique, which can be described by an $O(n^{k+1})$ long string (an $n$ -bit string for each of the $n^k$ vertices). Note that $k$ can be a very large constant, so the witness can be much longer than linear. (Even if the input size is the description of $C$ , rather than $n$ , this witness can be still much longer, because $k$ can be chosen independently of $C$ .)
The problem can be viewed as natural, since it is a variant of MAXCLIQUE.
$NTIME(n)$

— Андрас Фараго
источник

Я не уверен, что следую вашему сокращению Half-Clique до этой проблемы, чтобы установить полноту в NP. Учитывая

n

$n$ -vertex instance of Half-Clique, what circuit does it map to?

— András Salamon

@AndrásSalamon Let

G^{'}

$G'$ be an

N = 2 n^{k}

$N=2n^k$ -vertex graph, serving as input graph of Half-Clique. Then

C

$C$ is the circuit that accepts any node pair

(u, v)

$(u,v)$ , if

u \leq N, v \leq N

$u\leq N, \; v\leq N$ (as binary numbers), and

(u, v) \in E (G^{'})

$(u,v)\in E(G')$ , otherwise

C

$C$ rejects. (This

C

$C$ can be implemented as a polynomial sized circuit.) Then

G (C)

$G(C)$ will contain

G^{'}

$G'$ on the first

N

$N$ nodes, plus

2^{n} - N

$2^n-N$ additional isolated nodes. The graph

G (C)

$G(C)$ has a clique of size

n^{k}

$n^k$ precisely when

G^{'}

$G'$ has a half-clique.

— Andras Farago