Диаметр графов Кэли подгрупп в

Бабай и Сэресс доказали, что при наличии подгруппы и порождающего множества в любая перестановка в может быть записана как произведение образующих и их обратных длины . Эта граница является оптимальной, поскольку имеет элемент порядка . S G G e ( 1 + o ( 1 ) ) $G \leq S_n$$S$$G$$G$ Sne(1+o(1))$e^{(1+o(1))\sqrt{n\log n}}$$S_n$$e^{(1+o(1))\sqrt{n\log n}}$

Классический факт, что каждый элемент в имеет порядок не более сочетании с результатом Бабая и Сресса, показывает, что для данной подгруппы и порождающий набор из , любая перестановка в может быть записана как произведение генераторов длины не более .e ( 1 + o ( 1 ) ) $S_n$ G≤SnSGGe2(1+o(1))$e^{(1+o(1))\sqrt{n\log n}}$$G \leq S_n$$S$$G$$G$$e^{2(1+o(1))\sqrt{n\log n}}$

Можем ли мы улучшить верхнюю границу до ?$e^{2(1+o(1))\sqrt{n\log n}}$$e^{(1+o(1))\sqrt{n\log n}}$

Этот вопрос был вдохновлен недавним вопросом « Автоматы» и своего рода леммой прокачки о функции перехода состояний .

Ответ - да, мы можем улучшить верхнюю границу до . Это было доказано в более позднейработеБабая (следствие 2.9).$\mathrm{e}^{(1 + o(1))\sqrt{n\ln n}}$