Представление булевой функции полиномом

10

Предположим, у нас есть булева функция из . Ясно, что вещественный многомерный полином такой, что на может быть полилинейным. Какие интересные классы булевых функций, для которых минимальная степень $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$ $p(x)$ $f(x)=p(x)$ $x\in\{0,1\}^n$ $p(x)$ известен? У нас есть конкретные примеры?

boolean-functions

— Т ....
источник

2

Связанный: cstheory.stackexchange.com/questions/25291/…

— Андрей Бауэр

1

Если вы не знакомы с ним, тесно связана большая работа по «приблизительной степени», которая спрашивает, какова минимальная степень многочлена, «приближающего»

? Я не знаю достаточно, чтобы дать конкретные ссылки, но другие будут.

f

$f$

— Усул

10

$n$

\sum_{x \in {0, 1}^{n}} (- 1)^{\sum_{i} x_{i}} f (x) \neq 0

$\sum_{x \in \{0,1\}^n} (-1)^{\sum_i x_i}f(x) \neq 0$

f

$f$

x_{1} \dots x_{n}

$x_1\cdots x_n$

(- 1)^{x_{i}} = \frac{1 - x_{i}}{2}

$(-1)^{x_i} = \frac{1-x_i}{2}$

f

$f$

\frac{1 - x_{i}}{2}

$\frac{1-x_i}{2}$

\prod_{i} \frac{1 - x_{i}}{2}

$\prod_i \frac{1-x_i}{2}$

\prod_{i} x_{i}

$\prod_i x_i$

$d$ $d2^d$ $d = 1$

— Юваль Фильмус
источник

Это полезный момент. Что является хорошим справочником по этой теме?

— T ....

3

Вы можете взглянуть на недавнюю книгу Райана О'Доннелла «Анализ булевых функций».

— Юваль Фильмус

0

Классы булевых функций с уникальным полилинейным представлением содержат

Псевдобулевы функции над вещественными числами (теорема 1.34 [1])
$[0,1]^n$

Фон

«Каждая булева функция может быть представлена дизъюнктивной нормальной формой и конъюнктивной нормальной формой». (Теорема 1.4 (с.16 [1])

$\vee (\wedge {x} \wedge \bar{x} )$ $\vee (\prod x \prod (1-x))$ $\sum c \prod x$ $F$ $\mathcal B^n$ $\mathcal P(N)$ $\oplus$ $f(x_1,\ldots,x_n)=\oplus_{A\in\mathcal P(N)} c(A)\prod_{i\in A} x_i$

и их приложения содержат

$[0,1]^n$
$[0,1]^n$
(схемы) Сложность булевой функции многолинейного полиномиального вычисления
(анализ Фурье) Нижние оценки для полиномов, вычисляющих булевы функции

Ссылки

[1] Теория, алгоритмы и приложения булевых функций (Ив Крама, Питер Л. Хаммер, 2011)

— HHH
источник

1

Да, очевидно. Теперь, как это отвечает на вопрос?

— Эмиль Йержабек