Преимущества автоматов XOR (NXA) для конечных языков от циклов?

Недетерминированный Xor автомат (NXA) является синтаксически NFA, но говорят, что NXA принимает слово, если оно имеет нечетное число принимающих путей (вместо хотя бы одного принимающего пути в случае NFA).

Легко видеть, что для конечного регулярного языка $L$ существует минимальный NFA, который не содержит циклов (если цикл был и достижимым из исходного состояния, и вы переходите из него в принимающее состояние - ваш язык не является конечно).

Это не обязательно так для NXA.

Обозначим через , XOR-состояние сложность языкового ,$xsc(L)$$L$

и в ациклического XOR государственной сложности L (т.е. размер наименьшего ациклического NXa , который принимает л ).$axsc(L)$$L$$L$

Верно ли, что для любого конечного языка $L$ :

$$axsc(L)=xsc(L)\ ?$$

Я думаю, что ответ утвердительный. Может быть, есть более простое доказательство, но вот набросок доказательства, в котором используется линейная алгебра.

Как и domotorp, мы будем рассматривать конфигурацию n- состояния XOR-автомата как вектор из V = GF (2) ⁿ .

Пусть L - конечный язык над алфавитом Σ = {1,…, k }, и рассмотрим XOR-автомат для L с минимальным числом состояний. Пусть n будет числом состояний. Мы предполагаем, что состояния помечены как 1,…, n , а состояние 1 является начальным состоянием.

Сначала мы настроили обозначение. Пусть v ₀ = (1, 0,…, 0) ^T ∈ V - элементарный вектор, соответствующий начальному состоянию, и пусть s - вектор строки, i- я запись которого равна 1, если и только если состояние i является принимающим состоянием. Подпространство R = { v : s v = 0} в V соответствует отклоненным векторам конфигурации.

Для каждого a ∈ Σ пусть A _a будет матрицей n × n над GF (2), которая представляет переход, вызванный буквой a . Например, вектором конфигурации после считывания входной строки a b является A _b A _a v ₀ . Для строки сг = ₁ ... в _т , мы обозначим произведение _т ... ₁ по М ( сг ). Пусть S = { A ₁,…, A _k }.

Подпространство W из V называется S - инвариантна при W ⊆ W для каждого ∈ S . В нашем контексте это означает, что, как только вектор конфигурации переходит в W , нет выхода из W путем чтения большего количества букв.

Поскольку этот XOR-автомат имеет минимальное количество состояний, мы имеем следующие свойства.

• Единственным S -инвариантным подпространством в V , содержащим v _0, является сам V. Это потому, что если W - правильное S -инвариантное подпространство, содержащее v ₀ , то мы можем использовать W вместо V , что противоречит минимальности.
• Единственное S -инвариантное подпространство, содержащееся в R, это {0}. Это потому, что если W - нетривиальное S -инвариантное подпространство, содержащееся в R , то мы можем использовать фактор-векторное пространство V / W вместо V , что опять-таки противоречит минимальности.

Поскольку L конечно, пусть т быть целым числом больше , чем длина любой строки в L .

Лемма 1 . Для любой строки σ длиной не менее m имеем M ( σ ) = 0.

Доказательство. Сначала докажем, что для любой строки σ длины не менее m имеем M ( σ ) v ₀ = 0. Пусть W - подпространство в V, натянутое на { M ( σ ) v ₀ : σ - строка длиной не менее m }. По определению W является S -инвариантным. Поскольку рассматриваемый автомат XOR отклоняет эти строки σ , W содержится в R . Поэтому W = {0}, что означает, чтоM ( σ ) v ₀ = 0 для всех таких строк σ .

Теперь рассмотрим любой вектор v ∈ V . Поскольку единственным S -инвариантным подпространством в V , содержащим v _0, является сам V , v можно записать в виде линейной комбинации векторов вида M ( τ ) v ₀ для некоторых строк τ . Поскольку M ( σ ) M ( τ ) v ₀ = M ( τ σ ) v ₀= 0 (последнее равенство следует из предыдущего абзаца, так как длина ) v = 0. ■τ σ не менее m ), оно гласит, что M ( σ

Нам нужен еще один факт из линейной алгебры.

Лемма 2 . Пусть A ₁ ,…, A _k - матрицы n × n над полем, и определим M ( σ ), как указано выше. Если существует m ≥0 такое, что M ( σ ) = 0 для каждой строки σ длины не менее m , то матрицы A ₁ ,…, A _k одновременно аналогичны строго нижним треугольным матрицам (то есть существует n × n неособая матрица P такая, что матрицы P ⁻¹ A ₁ P ,…, P − ¹ A _k P строго нижнего треугольника).

Случай k = 1 является хорошо известной характеристикой нильпотентных матриц, и лемма 2 доказывается аналогичным образом.

Теперь рассмотрим XOR-автомат из n состояний, в котором матрица переходов, соответствующая символу a ∈Σ, задана P ⁻¹ A _a P , вектор начальной конфигурации задан P ⁻¹ v ₀ , а вектор характеристики (строки) принимающие государства дается ей P . По построению этот XOR-автомат принимает тот же язык L, Поскольку матрицы перехода строго треугольны снизу, каждое ребро перехода в этом автомате XOR переходит из состояния с меньшим индексом в состояние с большим индексом, и, следовательно, этот автомат XOR является ациклическим. Хотя вектор начальной конфигурации может иметь более одной единицы, этот XOR-автомат легко преобразовать в обычный XOR-автомат с одним начальным состоянием для того же языка без увеличения количества состояний или нарушения ацикличности.

Я думаю, что могу доказать, что циклы не помогают по унарному алфавиту.

$M$$F_2$$v_n$$F_2$$\mod 2$$n$$v_n=M^nv_0$$v_0=(1,0,..,0)$$t$$s\cdot v=0$$s$$M^n$$s\cdot v_n=0$