Когда под полиномом GI подразумевается полиномиальный (ребро) цветной GI?

Кросспост из МО .

Изоморфизм цветного графа (ребро) - это GI, который сохраняет цвета (ребер, если он окрашен ребром).

Есть несколько сокращений, использующих преобразования / гаджеты (краевого) GI в GI. Для GI с цветным краем самый простой способ - заменить цветной край на гаджет, сохраняющий GI, кодирующий цвет (простейший случай - подразделение края на достаточное количество раз). Для GI, окрашенного в вершину, прикрепите гаджет к вершине.

Пусть GI полиномиальное для некоторого графа класса . $C$

Q1 Для какого полином GI подразумевает полином (ребро) окрашенного GI? $C$

Использование сокращения с гаджетами может сделать графики не членами . $C$

С другой стороны, некоторые гаджеты / преобразования могут сделать графы членами некоторого другого полиномиального класса GI.

Пример уменьшения цвета краев . $G \to G'$

Сделайте клику из $V(G)$ . Цветные ребра в $E(G)$ с $1$ и не ребра с $0$ . Это функция раскраски, которая сохраняет $G$ и чтобы восстановить $G$ из $G'$ просто возьмите края, окрашенные в $1$ . $G'$ это клика, cograph, граф перестановок и почти наверняка во многих других хороших классах. Подразделение ребер нечетное число раз (отличное от $0,1$ удаляет цвета и делает $G'$ идеальным двудольным графом, сохраняя изоморфизм).

Возможно, другой подход состоит в том, чтобы взять линейный граф и добавить подвесные (универсальные) вершины, связанные с вершинами, соответствующими . $G'$ $E(G')$

Q2 Есть ли хорошие гаджеты / преобразования для подобных конструкций?

Мысль о планаризации , выбрав какой-то универсальный рисунок клики и заменив пересечение ребер планарными гаджетами, сохранив цвета, скажем, для одинаковых цветов и что-то еще для разных цветов. Не знаю, сохраняет ли это изоморфизм. $G'$ $C_4,C_6$

Другим возможным подходом может быть автоморфизм, сохраняющий раскраску, или подразделить каждое ребро , использовать 3 цвета для вершин и попытаться распознать себя дополнительные графы путем автоморфизма, обменивающие и . $K_n$ ${0,1,2}$ $V(G),E(G),E(\overline{G})$ $E(G)$ $E(\overline{G})$

Q3 Можно ли вычислить группу автоморфизмов подразделения ? $K_n$

Заказы после нескольких первоначальных сроков: есть A052565 $12 , 24 , 120 , 720 , 5040 , 40320 , 362880$

Дима предполагает, что это может быть легко достаточно большим, и начальные условия являются исключениями. $n$

Q4 Учитывая вершинный окрашенное подразделение для и его группы автоморфизмов , где высокой степень вершина окрашенная , в некоторой степени являются и другими являются , какова сложность найти автоморфизм обмен и ? $K_n$ $n > 4$ $0$ $2$ $1$ $2$ $1$ $2$

Добавлена статья « О распознавании графов Кейли», стр. 86 утверждений:

Для класса C графов Кэли и графа G с ребрами из n вершин и m ребер нас интересует проблема проверки того, существует ли изоморфизм φ, сохраняющий цвета так, что G изоморфен φ графу в C окрашены элементами его порождающего множества. В этой статье мы даем алгоритм времени O (m log n), чтобы проверить, является ли G изоморфным по цвету графу Кэли.

Это похоже на вопрос, это актуально?

graph-theory graph-isomorphism automorphism

— Joro
источник

Есть связь с гиперграфами. Цветное ребро (u, v, c) можно рассматривать как гиперчувствительность, а гиперграф приведен к графу.

— Joro

Ответы:

Q2: хороший пример - гаджет для маркировки графиков, используемый для доказательства того, что:

Теорема : плоская 3-связная цветная GI плоская 3-связная GI $\leq_T^L$

См. Томас Тирауф, Фабиан Вагнер: Проблема изоморфизма плоских 3-связных графов находится в однозначном логическом пространстве. Теория вычислений. Сист. 47 (3): 655-673 (2010)

Используемый «маркерный гаджет» сохраняет ограничения 3-связности и плоскостности.

— Марцио де Биаси
источник

Спасибо. А как насчет других вопросов?

— Joro

@joro: я подумаю о Q3, Q4; для Q1 я думаю, что - возможно - более интересно спросить "Для какого C полиномиальный GI не подразумевает (или неизвестно, подразумевает ли он ...) GI полиномиального (ребристого) цвета?" (потому что для многих классов графов, для которых GI разрешается за полиномиальное время, простые маркировки вершин / ребер не выводят графы из

)

C

$\mathcal{C}$

— Марцио Де Биаси,

По вопросу 1: если вы найдете интересный вопрос, задайте его. Или, возможно, отредактируйте этот вопрос с помощью Q1.1 . Некоторые мысли, когда есть пиво :). (край) цветной граф тривиально представляется мне гиперграфом. HGI так же легко, как GI через сокращение IIRC. Некоторые случаи ограниченных автоморфизмов являются NP-полными, а некоторые - полиномиальными IIRC.

— Жоро

В вопрос добавлена статья, которая может быть актуальной.

— Joro

Частичный ответ, недостаточно разбираюсь в теории групп, но две статьи дают частичные результаты.

$G \to G'$

$V(G)$ $e \in E(G')$ $1$ $e \in E(G)$ $0$ $G$ $G'$ $1$

$G \cong H \iff G' \cong H'$

$G'$

Эта статья утверждает:

$O(n^2 (\log n)^6 )$ $n$

Точное определение «краевого цвета» мне не ясно.

Бумага, доказывающая циркулянт Г. И., является полиномиальной в сноске по п.1 формулы изобретения:

Под графом мы понимаем обычный граф, орграф или даже графа с краями.

Спросил на МО, каковы ограничения на окраски.

— Joro
источник