Сложность задач, связанных с перестановкой

Для группы перестановок на и двух векторов где - конечный алфавит, который здесь не совсем уместен, вопрос есть ли какой-нибудь такой, что где означает применение перестановки к ожидаемым образом.$G$$[n]=\{1, \cdots, n\}$$u,v\in \Gamma^n$$\Gamma$$\pi\in G$$\pi(u)=v$$\pi(u)$$\pi$$u$

Предположим далее, что задается в качестве входных данных конечным множеством образующихВ чем сложность проблемы? В частности это в НП?$G$$S$

Пусть где S n - группа перестановок на n элементах. Тестирование ли г ∈ ⟨ г 1 , ... , г к ⟩ может быть сделано в NC ⊆ P по [1]. Пусть u , v ∈ Γ n , тогда просто угадайте g ∈ S n , проверьте за полиномиальное время, является ли g ∈ $g_1, \ldots, g_k, g \in S_n$$S_n$$n$$g \in \langle g_1, \ldots, g_k \rangle$$\text{NC} \subseteq \text{P}$$u, v \in \Gamma^n$$g \in S_n$$g \in G$и является ли . Это дает верхнюю границу NP .$g(u) = v$$\text{NP}$

Чтобы дополнить этот ответ:

Было показано, что членство в группах принадлежит (Furst et al. 1980), затем NC 3 для абелевых групп (McKenzie & Cook 1987; Mulmuley 1987), NC для нильпотентных групп (Luks & McKenzie 1988), разрешимых групп (Luks & McKenzie 1988), группы с ограниченными неабелевыми композиционными факторами (Luks 1986) и, наконец, все группы (Babai et al. 1987). Сходная классификация сложности принадлежности апериодических моноидов обязана (Beaudry 1988; Beaudry et al. 1992; Kozen 1977), которые показывают, что принадлежность к любому фиксированному разнообразию апериодических моноидов либо в AC 0 , в P , в NP , либо в $\text{P}$$\text{NC}^3$$\text{NC}$$\text{AC}^0$$\text{P}$$\text{NP}$$\text{PSPACE}$ (и завершить для этого класса с очень немногими исключениями).

[1] Л. Бабай, Э. М. Лукс и А. Сресс. Группы перестановок в NC. Proc. ежегодный симпозиум ACM по теории вычислений, с. 409-420, 1987.$19^\text{th}$

Ваша проблема известна как ( -) строковый G -изоморфизм. Он находится в достаточно узком классе задач вокруг Изоморфизм графов: это по крайней мере , столь же трудно , как GI, и в N P ∩ C O A M .$\Gamma$$G$$\mathsf{NP} \cap \mathsf{coAM}$

Сокращение от GI: пусть и пустьG≤SN- индуцированное действиеSnна пары.$N = \binom{n}{2}$$G \leq S_N$$S_n$

протокола: Артур случайнымвыбирает элемент G (я не уверенчто это может быть сделано точно равномерно, но я думаючто известные алгоритмы получить достаточно близко к форме для этого результата) и применяет его и к ц и v . С вероятностью 1/2 он меняет местами u и v , затем представляет их Мерлину и спрашивает, что именно.$\mathsf{coAM}$$G$$u$$v$$u$$v$

Несмотря на мои комментарии, я также добавлю ответ.

В случае, если два заданных вектора известны как перестановки друг друга (и известно, что перестановка находится в данной группе ). Тогда перестановка, которая преобразует v → u, может быть найдена за линейное время как таковая:$G$$v \to u$

1. Совместите 2 вектора один под другим

2. Перестановка найдена, начиная с 1-го элемента который превращается в 1-й элемент $v$$u$

3. Получить позицию элемента на предыдущем шаге (от в v ) и повторить шаг (2), затем это 2-й элемент перестановки и так далее, пока все элементы не пройдены.$u$$v$

Если неизвестно, являются ли два вектора положительной перестановкой друг друга (или для более общих случаев, когда может быть несколько преобразований, как, например, игра в судоку), проверьте другую проблему решения, которая в общем случае NP-сложна. Это требует использования некоторых преобразований симметрии (например, перестановок), которые удовлетворяют ограничениям данной задачи, для генерации другого решения задачи при заданном исходном решении.

Кроме того, это часть проблем, известных как Обратные проблемы (а-ля Джейнс)