Сложность раскраски ребер в плоских графах

15

3-реберная раскраска кубических графов является полной. Теорема о четырех цветах эквивалентна «Любые кубические плоские безмостовые графы раскрашиваются по 3 ребрам» $NP$

Какова сложность 3-реберной раскраски кубических плоских графов?

Также предполагается, что раскраска -edge является трудной для плоских графов с максимальной степенью {4,5}. $\Delta$ $NP$ $\Delta \in$

Был ли достигнут какой-либо прогресс в разрешении этой гипотезы?

Марек Хробак и Такао Нишизеки. Улучшены алгоритмы раскраски ребер для плоских графов. Журнал Алгоритмов, 11: 102-116, 1990

— Мухаммед Аль-Туркистани
источник

Разве строка 2 в таблице 1 в dx.doi.org/10.1007/s00453-007-9044-3 не означает, что «3- реберная раскраска кубических плоских графов» полиномиально разрешима?

— Александр Бондаренко

Запись в таблице относится к раскрашивающей бумаге Робертсона, Сандерса, Сеймура и Томаса Четыре, в которой рассматриваются кубические планарные графы без мостов .

— Мухаммед Аль-Туркистани

+1 отличный вопрос, у меня есть симлиар, но более практичный ...

— draks ...

Привет, вы знаете, есть ли прогресс в раскраске 3-ребер на кубических графах на двойном торе ?

— Дракс ...

15

Каждый плоский мост без мостов может быть трехцветным за квадратичное время, так как эта задача эквивалентна четырехцветному плоскому графу, который можно выполнить за квадратичное время. (См. Робертсон, Сандерс, Сеймур и Томас: http://people.math.gatech.edu/~thomas/OLDFTP/fcdir/fcstoc.ps )

РЕДАКТИРОВАТЬ: Как указывает Матье, кубические графы с мостами никогда не окрашиваются в 3 ребра.

— Эмиль
источник

5

Кубические графы с мостом никогда не окрашиваются в 3 ребра. Это следует из «Леммы о четности», например, см. Примечание под леммой 2.1 в combinatorics.org/Volume_17/PDF/v17i1r32.pdf

— Колин Маккуиллан,

1

Чтобы быть точным, эквивалентность между краевой окраской и

окраской означает только кубические планарные графы без мостов .

3

$3$

4

$4$

— Матье Шапель

@ Эмиль, я не понимаю, как это могло бы означать, что кубические графы PLANAR с мостами никогда не окрашиваются в 3 ребра.

— Мухаммед Аль-Туркистани

@ MohammadAl-Turkistany Учитывая два цвета a и b в d-ребристой раскраске d-регулярного графа (d> = 2), подграф, индуцированный ребрами, окрашенными a или b, является несвязным объединением четных циклов. Из этого следует лемма о четности: если X - собственное непустое подмножество V (G), а F - разрез, индуцированный X, то для всех цветов a и b четность числа ребер X, окрашенных a, равна равен четности числа ребер X окрашенного б. Следовательно, любой d-регулярный граф (d> = 2) с мостом не может быть окрашен в d-ребро, независимо от того, является он плоским или нет.

— Леандро Затеско

5

3-реберная раскраска графов без треугольников с максимальной степенью 3 также является NP-полной, см. 10.1016 / S0096-3003 (96) 00021-5.

— Diamantis Koreas
источник

4

Вы можете найти этот документ интересным:

http://cs.nyu.edu/cole/papers/edge_col.pdf

— Иосиф Малкевич
источник

В качестве альтернативы, dx.doi.org/10.1007/s00453-007-9044-3 Странно, что это один из первых попаданий, когда вы гугляте <планарные графы краевых окрасок>.

— RJK