Изоморфизм графов с отношением эквивалентности на множестве вершин

Цветной граф можно описать как кортеж где - граф, а - раскраска. Два цветных графа и называются изоморфными, если существует такой изоморфизм , что выполняется раскраска, т.е. для всех v \ в V (G) .$(G,c)$$G$$c : V(G) \rightarrow \mathbb{N}$$(G,c)$$(H,d)$$\pi : V(G) \rightarrow V(H)$$c(v) = d(\pi(v))$$v \in V(G)$

Это понятие отражает изоморфизм цветных графов в очень строгом смысле. Рассмотрим случай, когда у вас есть две политические карты одного региона, но они используют разные наборы цветов. Если спросить, окрашены ли они одинаково, можно предположить, что это означает, существует ли биективное отображение между двумя наборами цветов, так что цвета обеих карт совпадают посредством этого отображения. Это понятие может быть оформлено путем описания цветных графов , как кортеж $(G,\sim)$ , где $\sim$ является отношение эквивалентности на множестве вершин $G$ . Тогда мы можем сказать, что два таких графа $(G,\sim_1)$ и $(H,\sim_2)$ изоморфны, если существует такой изоморфизм $\pi : V(G) \rightarrow V(H)$ , что для всех пар$v_1,v_2 \in V(G)$ он утверждает, что

Мой вопрос заключается в том, изучалась ли ранее эта концепция в поисках канонических форм и т. Д. И если да, то под каким названием она известна?

Проблема, которую вы описываете, определенно была рассмотрена (я помню, как обсуждала ее в аспирантуре, и в то время она уже обсуждалась задолго до этого), хотя я не могу указать на какие-либо конкретные ссылки в литературе. Возможно, потому что он линейно эквивалентен изоморфизму неокрашенных графов следующим образом (это верно даже для канонических форм). Назовите проблему, которую вы описываете EQ-GI.

GI - это особый случай EQ-GI, где каждый граф имеет только один класс эквивалентности, состоящий из всех вершин.

В другом направлении, чтобы свести EQ-GI к GI, пусть будет графом с отношением эквивалентности с вершинами, ребрами и классами эквивалентности. Построить граф , множество вершин которого состоит из вершин вместе с новыми вершинами , по одному для каждого класса эквивалентности в , а также новых вершин . Соедините по пути , соедините каждый с и для каждой вершины в$(G, \sim_G)$$n$$m$$c$$G'$$G$$v_1, \dotsc, v_c$$=_G$$n+c+1$$w_0, \dotsc, w_{n+c}$$w_i$$w_0 - w_1 - w_2 - \dotsb - w_{n+c}$$v_i$$w_0$$G$ , связать его с соответствующей вершиной класса эквивалентности . Тогда имеет не более вершин и может быть построено по существу с одной временной привязкой. (Он также имеет не более ребер - что является для связных графов - но это несколько меньше актуальные , поскольку большинство алгоритмов GI есть проточный раз , что существенно зависеть только от .)$v_i$$G'$$n + 2c + n +1 \leq O(n)$$m + n + c + (n+c+1) \leq m + 4n + 1 \leq O(m+n)$$O(m)$$n$

Обновление : так как в комментариях была некоторая путаница, я добавляю здесь набросок правильности приведенного выше аргумента. Учитывая и , пусть и - графики, построенные, как указано выше; пусть обозначает вершину сверху в , а - вершину в , и аналогично для и . Если существует изоморфизм , он должен отправить к для всех$(G_1, \sim_1)$$(G_2, \sim_2)$$G_1'$$G_2'$$v_{i,1}$$v_i$$G_1'$$v_{i,2}$$G_2'$$w_{i,1}$$w_{i,2}$$G_1' \cong G_2'$$w_{i,1}$$w_{i,2}$$i$поскольку в каждом графе является уникальной вершиной, которая является конечной точкой любого пути длиной не менее . В частности, отображается на . Так как соседи , не являются в точности , изоморфизм должен отображать множество на множество (и, в частности, и должны иметь одинаковое число, , классов эквивалентности). Обратите внимание, что изоморфизм не должен посылать в для всех$w_{n+c}$$n+c+1$$w_{0,1}$$w_{0,2}$$w_0$$w_1$$v_i$$\{v_{1,1},\dotsc,v_{c,1}\}$$\{v_{1,2},\dotsc,v_{c,2}\}$$\sim_1$$\sim_2$$c$$v_{i,1}$$v_{i,2}$$i$ , но разрешено переставлять индексы , пока соответствующие классы эквивалентности могут быть сопоставлены друг с другом. И наоборот, основываясь на этом описании того, как могут выглядеть изоморфизмы между и , легко видеть, что если то это дает изоморфизм ,$v$$G_1'$$G_2'$$(G_1, \sim_1) \cong (G_2, \sim_2)$$G_1' \cong G_2'$

Я прочитал ваш последний комментарий в правильном ответе Иисуса Навина; если вам нужно преобразовать EQ-GI в цветной GI (т. е. у вас проблемы с цветами, назначенными классам эквивалентности), вы можете использовать следующее сокращение:

Предположим, что начальные графы $G_1 = (V_1, E_1)$, $G_2 = (V_2, E_2)$ и здесь $q$классы эквивалентности; затем вы можете добавить к каждому графу «перестановку», то есть полный граф на$|V_1|+1=|V_2|+1$ узлы ($K'_{|V_1|+1}$,$K''_{|V_2|+1}$) и использовать $q+1$ цвета $c_1,...,c_q,c_{q+1}$,

В обоих $K'$ а также $K''$, $q$ узлы различаются и окрашиваются $c_1,...,c_q$ остальные узлы окрашены $c_{q+1}$, Узлы$G_1$ окрашены цветом $c_{q+1}$ и узлы в том же классе эквивалентности связаны с соответствующим цветом в $K'$; узлы$G_2$ окрашены цветом $q+1$ и узлы в том же классе эквивалентности связаны с соответствующим цветом в $K''$,

Также обратите внимание, что вы можете отбросить цвета и получить эквивалентный экземпляр GI :-)

Сокращение основных соответствует примеру в вашем комментарии