Самые влиятельные результаты Липтона

Ричард Дж. Липтон был выбран в качестве лауреата Кнутской премии 2014 года «За внедрение новых идей и методов».

Каковы, на ваш взгляд, основные новые идеи и методы, разработанные Липтоном?

Заметка. Этот вопрос должен стать вики сообщества, пожалуйста, поставьте одну такую ​​идею, технику или результат для ответа.

Планарная Сепаратор теорема утверждает , что в любом плоском $n$ -vertex граф $G$ существует множество вершины, удаление которых оставляет граф разъединенным по крайней мере на две примерно сбалансированные компоненты. Более того, такой набор можно найти за линейное время. Этот (жесткий) результат,доказанный Липтоном и Тарьяном(улучшенный по сравнению с предыдущим результатом Унгаром), является мощным инструментом для разработки алгоритмов на плоских графах. Это дает много точных субэкспоненциальных алгоритмов времени для NP-трудных задач и улучшенных алгоритмов аппроксимации полиномиального времени. Просмотрстраницы википедиидает хорошую отправную точку для изучения многочисленных приложений. Раннее исследованиес подробной информацией о ряде приложений было написано Lipton и Tarjan в 1980 году.$O(\sqrt{n})$

Теорема Карпа-Липтона гласит, что не может иметь булевы схемы полиномиального размера, если полиномиальная иерархия не рухнет на второй уровень.$\mathsf{NP}$

Два следствия этой теоремы для теории сложности:

• вероятно, не имеет логических схем полиномиального размера; Поэтому доказательство нижних границ размеров схем является возможным подходом для разделения классов сложности.$\mathsf{NP}$
• Несколько результатов основаны на этой теореме для доказательства разделения классов сложности (например, теорема Каннана).

Случайная самовосстанавливаемость перманента . Липтон показал, что если существует алгоритм, который правильно вычисляет перманент дроби всех F n × n , где F - конечное поле размером не менее 3 n , то этот алгоритм можно использовать как черный ящик для вычисления перманента любой матрицы с высокой вероятностью.$1-1/(3n)$$\mathbb{F}^{n\times n}$$\mathbb{F}$$3n$

Основная идея заключается в том, что перманент является многочленом низкой степени, поэтому его композиция с одномерной аффинной функцией является одномерным многочленом низкой степени (по x ) и может быть получена точно из небольшого числа значений с помощью интерполяции. , Вы можете выбрать случайный B так, чтобы композиция распределялась как перманент случайной матрицы для любого x . При х = 0 одномерный полином только перманент А . Подробности можно найти в главе 8 Арора Барак .$A + xB$$x$$B$$x$$x = 0$$A$

Этот алгебраический подход был чрезвычайно влиятельным в теории сложности. Идеи Липтона привели в конечном итоге к доказательству теоремы IP = PSPACE, доказательству теоремы PCP и к результатам по локальным кодам с исправлением ошибок.

Я не уверен на 100%, является ли приведенное ниже объяснение исторически точным. Если это не так, пожалуйста, не стесняйтесь редактировать или удалять.

Мутация была изобретена Липтоном. Мутационное тестирование можно рассматривать как способ измерения качества или эффективности тестового набора. Основная идея заключается в том, чтобы внедрить ошибки в тестируемую программу (то есть, чтобы изменить программу), предпочтительно виды ошибок, которые может совершить программист-человек, и посмотреть, обнаружит ли набор тестов введенные ошибки. Типичным примером такого рода тестирования мутаций может быть замена x> 0 на x <0 или замена x на x + 1 или x-1. Доля ошибок, обнаруженных набором тестов, является «показателем адекватности мутаций» набора тестов. Говоря очень свободно, можно думать об этом как о методе Монте-Карло для вычисления показателя адекватности мутации.

Более абстрактно можно сказать, что мутационное тестирование выдвигает на первый план симметрию или двойственность между программой и ее наборами тестов: не только можно использовать набор тестов, чтобы стать более уверенным в правильности программы, но, наоборот, программа может быть используется для получения уверенности в качестве тестового набора.

В свете этой двойственности, тестирование мутаций также концептуально близко к внедрению ошибки . Оба технически похожи, но имеют разные цели. Мутационное тестирование стремится измерить качество набора тестов, в то время как внедрение ошибок стремится установить качество программы, обычно качество ее обработки ошибок.

Недавно идеи мутационного тестирования были использованы для проверки (формализации) логических теорий. Перефразируя реферат (4): При разработке нетривиальных формализаций в средстве проверки теорем значительное количество времени отводится «отладочным» спецификациям и теоремам. Как правило, неправильные спецификации или теоремы обнаруживаются при неудачных попытках доказательства. Это дорогая форма отладки. Поэтому часто полезно проверить гипотезы, прежде чем приступать к доказательству. Возможный способ сделать это - назначить случайные значения свободным переменным гипотезы и затем оценить ее. (4) использует мутации для проверки качества используемых генераторов тестовых случаев.

История . Из (1): История мутационного тестирования восходит к 1971 году в студенческой статье Ричарда Липтона [...] Рождение поля также может быть идентифицировано в других работах, опубликованных в конце 1970-х годов Липтоном и соавторами. (2), а также Гамлет (3).

1. Репозиторий мутационного тестирования: теория мутационного тестирования .

2. RA DeMillo, RJ Lipton, FG Sayward, Советы по выбору тестовых данных: Справка для практикующего программиста .

3. Р.Г. Гамлет. Тестирование программ с помощью компилятора .

4. S. Berghofer, T. Nipkow, Случайное тестирование в Изабель / HOL. ,

Лемма Шварца - Циппеля - Демилло-Липтона - фундаментальный инструмент арифметической сложности: в основном говорится, что если вы хотите узнать, представляет ли арифметическая схема нулевой полином, все, что вам нужно, - это оценить схему на одном входе. Тогда вы получите ненулевое значение с хорошей вероятностью, если схема не представляет нулевой полином.

Это особенно важная лемма, поскольку для этой проблемы не известен детерминированный алгоритм за полиномиальное время.

Лемма обычно известна как лемма Шварца-Циппеля . Историю этой леммы можно найти в собственном блоге Липтона .

Уязвимость в системах сложения векторов EXPSPACE-трудна : в RJ Lipton, проблема достижимости требует экспоненциального пространства , Отчет об исследовании 63, Йельский университет, 1976.

Система сложения векторов (VAS, эквивалентная сети Петри) размерности определяется как пара (обратите внимание, что ни один компонент v ′ не может быть отрицательным). Проблема совместимости с учетом VAS и целевого вектора$d$$\langle v_0,A\rangle$$v_0$$\mathbb{N}^d$$A$$\mathbb{Z}^d$$\mathbb{N}^d$$v\to v'$$u$$A$$v'=v+u$$v'$$v$$\mathbb{N}^d$$v_0\to v_1\to\cdots\to v_n$$v_n\geq v$$\mathbb{N}^d$$v_n(i)\geq v(i)$$1\leq i\leq d$, В сочетании с верхней границей EXPSPACE, доказанной C. Rackoff в 1978 году , результат Липтона показывает полноту для EXPSPACE.

$v_n=v$

Сложность многопартийной коммуникации и модель «число на лбу» были представлены Ашоком К. Чандрой , Мерриком Л. Фёрстом и Ричардом Дж. Липтоном в Многопартийных протоколах , STOC 1983, doi: 10.1145 / 800061.808737 .

Многопартийная модель является естественным продолжением двухсторонней модели сложности взаимодействия Яо , где Алиса и Боб имеют непересекающиеся половины входных битов и хотят общаться, чтобы вычислить предопределенную функцию всего входа. Однако расширение разделения входных битов на большее количество сторон часто не очень интересно (для нижних границ обычно можно просто рассмотреть первые две стороны).

$k$$k$$n$

$n$

$N$$k$$N$$k=3$$N$$O(\sqrt{\log N})$$N \le k(2^n-1)$$O(\sqrt{n})$

$^0$

$N$