Классификация обратимых ворот

Решетка Поста , описанная Эмилем Постом в 1941 году, в основном представляет собой полную диаграмму включения множеств булевых функций, замкнутых по композиции: например, монотонных функций, линейных функций над GF (2) и всех функций. (Пост не предполагал, что константы 0 и 1 были доступны бесплатно, что сделало его решетку намного более сложной, чем было бы в противном случае.)

Мой вопрос заключается в том, было ли когда-либо опубликовано что-либо аналогичное для классических обратимых ворот, таких как ворота Тоффоли и Фредкина. Т.е. какие классы обратимых преобразований на {0,1} ⁿ могут быть порождены некоторой коллекцией обратимых вентилей? Вот правила: вы позволили неограниченное количество Ancilla битов, некоторые предустановки 0 , и другие предустановки 1, до тех пор , как все Ancilla биты возвращаются к исходным значениям , как только ваш преобразования {0,1} ^п является законченный. Кроме того, SWAP в 2 бита (т. Е. Перемаркировка их индексов) всегда доступен бесплатно. Согласно этим правилам мы с моим учеником Люком Шеффером смогли определить следующие десять наборов преобразований:

Пустой набор
Набор, сгенерированный воротами НЕ
Набор, сгенерированный NOTNOT (то есть, вентили NOT, примененные к любым 2 битам)
Набор, сгенерированный CNOT (т. Е. Вентиль Controlled-NOT)
Набор, сгенерированный CNOTNOT (т. Е. Перевернуть 2-й и 3-й биты, если 1-й бит равен 1)
Набор, сгенерированный CNOTNOT и НЕ
Набор, сгенерированный воротами Фредкина (т. Е. Controlled-SWAP)
Множество, сгенерированное Фредкиным и CNOTNOT
Множество, сгенерированное Фредкиным, CNOTNOT и НЕ
Множество всех преобразований

Мы хотели бы определить оставшиеся семейства, а затем доказать, что классификация завершена, но прежде чем уделять ей много времени, мы бы хотели узнать, делал ли это кто-то раньше.

circuit-families

— Скотт Ааронсон
источник

Вам не хватает NOTCSWAP и (CSWAP, NOTCSWAP), где NOTCSWAP подобен контролируемому обмену, но меняет свои аргументы x, y, когда аргумент c равен 0 (вместо замены, когда c равно 1, как в CSWAP)? Вам нужны оба из них, чтобы получить все перестановки, сохраняющие вес Хэмминга: CSWAP переставляет только векторы веса Хэмминга ≥2, тогда как NOTCSWAP переставляет только векторы веса Хэмминга ≤n-2.

— Дэвид Эппштейн

Также (в предыдущем комментарии не хватило места), требуя, чтобы большее количество управляющих битов было нулевым или ненулевым, вы можете получить еще более ограниченные подмножества перестановок, сохраняющих вес Хэмминга, только переставляя векторы с весом Хэмминга по крайней мере или, самое большее, произвольным связаны. Так что это дает счетное количество классов преобразований.

— Дэвид Эппштейн

Спасибо, Дэвид, но я предположил, что 0 и 1 вспомогательные системы были доступны бесплатно именно для того, чтобы исключить такие "извращения". Разве это не так?

— Скотт Ааронсон

Пусть - класс всех перестановок, сохраняющих вес Хэмминга по модулю . Тогда удовлетворяет вашим требованиям, а тогда и только тогда, когда : о включениях другом месте свидетельствует -ная функция st , и

C_{n}

$C_n$

n

$n$

C_{n}

$C_n$

C_{n} \subseteq C_{m}

$C_n\subseteq C_m$

m | n

$m|n$

C_{n}

$C_n$

n

$n$

f_{n}

$f_n$

f_{n} (0^{n}) = 1^{n}

$f_n(0^n)=1^n$

f_{n} (1^{n}) = 0^{n}

$f_n(1^n)=0^n$

f (x) = x

$f(x)=x$ для. В частности, все эти бесконечно много классов различны.

x \neq 0^{n}, 1^{n}

$x\ne0^n,1^n$

— Эмиль Йержабек поддерживает Монику

См. Документ eccc.hpi-web.de/report/2015/066, в котором эти идеи были отточены, и который также ссылается на ответ Эмиля ниже.

— Андрас Саламон,

$\def\N{\mathbb N}\DeclareMathOperator\sym{Sym}\def\cC{\mathcal C}\def\cD{\mathcal D}\def\cP{\mathcal P}\def\cI{\mathcal W}\def\cMI{\mathcal{MW}}\DeclareMathOperator\pol{Pol}\DeclareMathOperator\inv{Inv}\DeclareMathOperator\minv{MInv}\let\pres\parallel$ Это представление одной половины двойственности для обратимых преобразований, аналогичных стандартной двойственности клон-клон (как здесь ). Это не отвечает на вопрос, но показывает, что все замкнутые классы таких функций определяются сохранением свойств определенной формы.

В отличие от стандартного случая, основное усложнение состоит в том, что перестановки могут считать (они сохраняют мощность), поэтому их инварианты должны включать немного арифметики, чтобы объяснить это.

Позвольте мне начать с некоторой предварительной терминологии. Закрепить конечное основание множество . (В классическом случае Скотт спрашивает о, . Части обсуждения также работают для бесконечного , но не для основной характеристики.) $A$ $A=\{0,1\}$ $A$

Множество перестановок (или: обратимые преобразования) является подмножеством , где обозначает группу перестановок . Перестановка клон представляет собой набор перестановки таким образом, что $\cC\subseteq\cP:=\bigcup_{n\in\N}\sym(A^n)$ $\sym(X)$ $X$ $\cC$

Каждый замкнут относительно композиции. $\cC\cap\sym(A^n)$

Для любого перестановка определяется как находится в . $\pi\in\sym(\{1,\dots,n\})$ $\tilde\pi\in\sym(A^n)$ $\tilde\pi(x_1,\dots,x_n)=(x_{\pi(1)},\dots,x_{\pi(n)})$ $\cC$

Если и , перестановка определяется находится в . $f\in\cC\cap\sym(A^n)$ $g\in\cC\cap\sym(A^m)$ $f\times g\in\sym(A^{n+m})$ $(f\times g)(x,y)=(f(x),g(y))$ $\mathcal C$

Поскольку конечно, 1 означает, что является подгруппой в . ОП требует только 2 для транспозиции , но версия здесь явно эквивалентна. Условие 3 эквивалентно тому, что я назвал введением фиктивных переменных в комментариях выше. $A$ $\cC\cap\sym(A^n)$ $\sym(A^n)$ $\pi$

Мастер клон является перестановкой клон с припуском ancillas:

Пусть , и такие, что для всех . Тогда влечет . $f\in\sym(A^{n+m})$ $g\in\sym(A^n)$ $a\in A^m$ $f(x,a)=(g(x),a)$ $x\in A^n$ $f\in\cC$ $g\in\cC$

Мы стремимся характеризовать перестановочные клоны и мастер-клоны по определенным инвариантам. Позвольте мне сначала мотивировать последнее несколькими примерами на : $A=\{0,1\}$

Мастер-клон перестановок, сохраняющих вес Хэмминга (генерируется воротами Фредкина). Если обозначает включение в , эти перестановки характеризуются свойством где , а я пишу . $w$ $\{0,1\}$ $\N$
$y = f (x) ⟹ \sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}),$ $y=f(x)\implies\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i),$ $f\in\sym(A^n)$ $x=(x_1,\dots,x_n)$
Мастер-клон перестановок, сохраняющих вес Хэмминга по модулю фиксированной , упоминается в комментариях. Это характеризуется той же формулой, что и выше, если мы интерпретируем как функцию от до циклической группы и вычисляем там сумму. $m$ $w$ $\{0,1\}$ $C(m)$
Главный клон аффинных перестановок , , (созданный CNOT). Легко проверить (или знает из случая Поста), что функция с одним выходом является аффинной, если она сохраняет отношение . Таким образом, если мы определим как находится в клоне тогда и только тогда таким образом , мы имеем дело с суммами в моноидом $f(x)=Mx\oplus b$ $M\in\mathrm{GL}(n,\mathbb F_2)$ $b\in\mathbb F_2^n$ $\mathbb F_2^n\to\mathbb F_2$ $x^1\oplus x^2\oplus x^3\oplus x^4=0$ $w\colon\{0,1\}\to\{0,1\}$
$w (x^{1}, x^{2}, x^{3}, x^{4}) = x^{1} \oplus x^{2} \oplus x^{3} \oplus x^{4},$ $w(x^1,x^2,x^3,x^4)=x^1\oplus x^2\oplus x^3\oplus x^4,$ $f\in\sym(A^n)$ $y^{1} = f (x^{1}) \land \dots \land y^{4} = f (x^{4}) ⟹ {max}_{i = 1}^{n} w (x_{i}^{1}, \dots, x_{i}^{4}) = {max}_{i = 1}^{n} w (y_{i}^{1}, \dots, y_{i}^{4}),$ $y^1=f(x^1)\land\dots\land y^4=f(x^4)\implies\max_{i=1}^nw(x^1_i,\dots,x^4_i)=\max_{i=1}^nw(y^1_i,\dots,y^4_i),$ $(\{0,1\},0,\max)$ .

В общем случае весовая функция - это отображение , где , а - коммутативный моноид. Функция мастер веса является тот , который отображает все диагональные -граммам , , чтобы обратимые элементы . Пусть обозначает класс всех весовых функций, а - основные весовые функции. $w\colon A^k\to M$ $k\in\N$ $M$ $k$ $(a,\dots,a)$ $a\in A$ $M$ $\cI$ $\cMI$

Если и является весовой функцией, мы говорим, что является инвариантом или (бездумно заимствуя терминологию), что является полиморфизмом , и напишите , если для всех выполнено следующее условие : $f\in\sym(A^n)$ $w\colon A^k\to M$ $w$ $f$ $f$ $w$ $f\pres w$ $(x_i^j)_{i=1..n}^{j=1..k},(y_i^j)_{i=1..n}^{j=1..k}\in A^{n\times k}$

Если , то $y^1=f(x^1),\dots,y^k=f(x^k)$
$\sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}) .$ $\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i).$

Здесь , и аналогично для . Другими словами, если (или, скорее, его параллельное расширение до ) сохраняет сумму весов своих аргументов. $x^j=(x^j_1,\dots,x^j_n)$ $x_i=(x_i^1,\dots,x_i^k)$ $y$ $f\pres w$ $f$ $(A^k)^n$ $w$

Отношение между и (или ) индуцирует связь Галуа между наборами перестановок и классами весовых функций обычным образом: и, следовательно, двойственный изоморфизм между полными решетками замкнутых множеств перестановок и замкнутыми классами (основных) весовых функций соответственно. Чтобы увидеть, что мы на правильном пути, мы видим, что замкнутые наборы перестановок действительно являются клонами: $\pres$ $\cP$ $\cI$ $\cMI$ $\cC\subseteq\cP$ $\cD\subseteq\cI$

\begin{aligned} Pol (D) & = {f \in P : \forall w \in D (f ∥ w)}, \\ {Inv}^{*} (C) & = {w \in W : \forall f \in C (f ∥ w)}, \\ {MInv}^{*} (C) & = M W \cap {Inv}^{*} (C), \end{aligned}

$\begin{align*} \pol(\cD)&=\{f\in\cP:\forall w\in\cD\,(f\pres w)\},\\ \inv^*(\cC)&=\{w\in\cI:\forall f\in\cC\,(f\pres w)\},\\ \minv^*(\cC)&=\cMI\cap\inv^*(\cC), \end{align*}$

Лемма: Если , то является клоном перестановки. Если , то является главным клоном. $\cD\subseteq\cI$ $\pol(\cD)$ $\cD\subseteq\cMI$ $\pol(\cD)$

Доказательство: первое утверждение более или менее очевидно. Во-вторых, пусть , будет таким же, как в условии 4, так что , и пусть будут такими же, как в определении . Положите , и , Тогда означает Однако обратимы в как является функцией основного веса, следовательно, $w\in\cD$ $f,g,a$ $f\pres w$ $(x_i^j),(y_i^j)$ $g\pres w$ $\bar x^j=(x^j,a)$ $\bar y^j=(y^j,a)=f(\bar x^j)$ $u_i=w(a_i,\dots,a_i)$ $f\pres w$

\sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) + \sum_{i = 1}^{m} u_{i} = \sum_{i = 1}^{n + m} w ({\bar{x}}_{i}) = \sum_{i = 1}^{n + m} w ({\bar{y}}_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}) + \sum_{i = 1}^{m} u_{i} .

$\sum_{i=1}^nw(x_i)+\sum_{i=1}^mu_i=\sum_{i=1}^{n+m}w(\bar x_i)=\sum_{i=1}^{n+m}w(\bar y_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i)+\sum_{i=1}^mu_i.$

u_{i}

$u_i$

M

$M$

w

$w$

\begin{matrix} QED & \sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}) . \end{matrix}

$\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i).\tag*{QED}$

Прежде чем мы продолжим, нам нужно решить одну проблему: моноиды могут быть огромными , поэтому инварианты этой формы могут справедливо подозреваться в бесполезной абстрактной бессмыслице.

Во-первых, учитывая весовую функцию , мы можем предположить, что порождается (и аддитивными инверсиями изображений диагональных элементов в главном случае), как и другие элементы не вводите картинку. В частности, является конечно порожденным . Во-вторых, общими результатами универсальной алгебры мы можем записать как подпрямое произведение где каждое подприводимо неприводимо, а является частным через проекцию го произведения $w\colon A^k\to M$ $M$ $w(A^k)$ $M$ $M$ $M$

M \subseteq \prod_{i \in I} M_{i},

$M\subseteq\prod_{i\in I}M_i,$

M_{i}

$M_i$

M_{i}

$M_i$

M

$M$

i

$i$

π_{i}

$\pi_i$ ; в частности, это все еще конечно порожденный коммутативный моноид. В результате Мальцева, fg подпрямо неприводимые коммутативные моноиды (или полугруппы) фактически конечны . Отображение снова является функцией веса, master, если было, и легко увидеть, что Таким образом, мы можем без ограничения общности ограничить внимание весовыми функциями , где конечно и не поддается непосредственному сокращению. Пусть - класс таких весовых функций, и положим

w_{i} = π_{i} \circ w : A^{k} \to M_{i}

$w_i=\pi_i\circ w\colon A^k\to M_i$

w

$w$

Pol (w) = ⋂_{i \in I} Pol (w_{i}) .

$\pol(w)=\bigcap_{i\in I}\pol(w_i).$

w : A^{k} \to M

$w\colon A^k\to M$

M

$M$

F W

$\mathcal{FW}$

\begin{aligned} Inv (C) & = F W \cap {Inv}^{*} (C), \\ MInv (C) & = F W \cap {MInv}^{*} (C) . \end{aligned}

$\begin{align*} \inv(\cC)&=\mathcal{FW}\cap\inv^*(\cC),\\ \minv(\cC)&=\mathcal{FW}\cap\minv^*(\cC). \end{align*}$ Примерами конечных подпрямо неприводимых коммутативных моноидов являются циклические группы и усеченные моноиды сложения . Общий случай более сложен, тем не менее можно многое сказать об их структуре: каждый может написать определенным образом как несвязное объединение и конечную нильсемигруппу с некоторыми свойствами. Смотрите Grillet для деталей.

C (p^{d})

$C(p^d)$

({0, \dots, d}, 0, min {d, x + y})

$(\{0,\dots,d\},0,\min\{d,x+y\})$

C (p^{d})

$C(p^d)$

Теперь мы готовы к главному пункту этого поста:

Теорема . Замкнутые множества перестановок в связности Галуа с конечными подпрямо неприводимыми (основными) весовыми функциями в точности являются перестановочными клонами (мастер-клонами и т. Д.).

То есть, если , то клон перестановки, сгенерированный будет , а мастер-клон, сгенерированный будет , $\cC\subseteq\cP$ $\cC$ $\pol(\inv(\cC))$ $\cC$ $\pol(\minv(\cC))$

Доказательство. Ввиду предыдущего обсуждения достаточно показать, что если является перестановочным клоном и , то существует инвариант из такое , что , и можно принять , чтобы быть функцией мастер веса , если является мастер - клон. $\cC$ $f\in\sym(A^n)\smallsetminus\cC$ $w\colon A^k\to M$ $\cC$ $f\nparallel w$ $w$ $\cC$

Положим , и пусть будет свободным моноидом, порожденным (т. Е. Конечными словами в алфавите ). Мы определяем отношение на : (Слова неравной длины никогда не связаны .) Так как каждый представляет собой группу, является отношением эквивалентности (на самом деле, его ограничение на слова длиной просто отношение орбиты эквивалентности , действующие очевидным образом на $k=|A|^n$ $F$ $A^k$ $A^k$ $\sim$ $F$

x_{1} \dots x_{m} \sim y_{1} \dots y_{m} ⟺ \exists g \in C \cap Sym (A^{m}) \forall j = 1, \dots, k g (x_{1}^{j}, \dots, x_{m}^{j}) = (y_{1}^{j}, \dots, y_{m}^{j}) .

$x_1\cdots x_m\sim y_1\cdots y_m\iff\hbox{$\exists g\in\cC\cap\sym(A^m)\,\forall j=1,\dots,k\,g(x^j_1,\dots,x^j_m)=(y^j_1,\dots,y^j_m).$}$

\sim

$\sim$

C \cap Sym (A^{m})

$\cC\cap\sym(A^m)$

\sim

$\sim$

m

$m$

C \cap Sym (A^{m})

$\cC\cap\sym(A^m)$

A^{m k}

$A^{mk}$ ). Более того, является моноидной конгруэнцией: если и свидетельствуют о том, что и соответственно, затем свидетели .

\sim

$\sim$

g \in C \cap Sym (A^{m})

$g\in\cC\cap\sym(A^m)$

g^{'} \in Sym (A^{m^{'}})

$g'\in\sym(A^{m'})$

x_{1} \dots x_{m} \sim y_{1} \dots y_{m}

$x_1\cdots x_m\sim y_1\cdots y_m$

x_{1}^{'} \dots x_{m^{'}}^{'} \sim y_{1}^{'} \dots y_{m^{'}}^{'}

$x'_1\cdots x'_{m'}\sim y'_1\cdots y'_{m'}$

g \times g^{'} \in C \cap Sym (A^{m + m^{'}})

$g\times g'\in\cC\cap\sym(A^{m+m'})$

x_{1} \dots x_{m} x_{1}^{'} \dots x_{m^{'}}^{'} \sim y_{1} \dots y_{m} y_{1}^{'} \dots y_{m^{'}}^{'}

$x_1\cdots x_mx'_1\cdots x'_{m'}\sim y_1\cdots y_my'_1\cdots y'_{m'}$

Таким образом, мы можем образовать фактор-моноид . Перестановка подстановки свидетельствует о том, что для каждого ; генераторы коммутируют, следовательно, коммутативна. Определите весовую функцию как естественное включение в составленное из фактор-карты. $M=F/{\sim}$ $xy\sim yx$ $x,y\in A^k$ $M$ $M$ $w\colon A^k\to M$ $A^k$ $F$

Легко видеть, что : действительно, если и , затем по определению (используя обозначения, как в определении ). С другой стороны, предположим, что . Пусть - перечисление , , и пусть для снова как в определении . затем $\cC\subseteq\pol(w)$ $g\in\cC\cap\sym(A^m)$ $y^1=f(x^1),\dots,y^k=f(x^k)$

\sum_{i = 1}^{m} w (x_{i}) = x_{1} \dots x_{m} / \sim = y_{1} \dots y_{m} / \sim = \sum_{i = 1}^{m} w (y_{i})

$\sum_{i=1}^mw(x_i)=x_1\cdots x_m/{\sim}=y_1\cdots y_m/{\sim}=\sum_{i=1}^mw(y_i)$

\sim

$\sim$

∥

$\pres$

f ∥ w

$f\pres w$

{a^{j} : j = 1, \dots, k}

$\{a^j:j=1,\dots,k\}$

A^{n}

$A^n$

b^{j} = f (a^{j})

$b^j=f(a^j)$

a_{i}, b_{i} \in A^{k}

$a_i,b_i\in A^k$

i = 1, \dots, n

$i=1,\dots,n$

∥

$\pres$

a_{1} \dots a_{n} / \sim = \sum_{i = 1}^{n} w (a_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (b_{i}) = b_{1} \dots b_{n} / \sim,

$a_1\cdots a_n/{\sim}=\sum_{i=1}^nw(a_i)=\sum_{i=1}^nw(b_i)=b_1\cdots b_n/{\sim},$ следовательно, по определению из существует такой, что для каждого . Однако, поскольку истощают , это означает, что , т. , противоречие. Это завершает доказательство перестановки клонов.

\sim

$\sim$

g \in C \cap Sym (A^{n})

$g\in\cC\cap\sym(A^n)$

g (a^{j}) = b^{j} = f (a^{j})

$g(a^j)=b^j=f(a^j)$

j

$j$

a^{j}

$a^j$

A^{n}

$A^n$

g = f

$g=f$

f \in C

$f\in\cC$

Даже если является главным клоном, не обязательно должна быть функцией основного веса, на самом деле, диагональные элементы даже не обязательно отменяют в , поэтому мы должны исправить это. Для каждого , пусть , и определим новое отношение эквивалентности на по Используя тот факт, что элементы коммутируют по модулю , легко показать, что конгруэнция снова, поэтому мы можем образовать моноид $\cC$ $w$ $M$ $c\in A$ $c^*=(c,\dots,c)\in A^k$ $\approx$ $F$

x_{1} \dots x_{m} \approx y_{1} \dots y_{m} ⟺ \exists c_{1}, \dots, c_{r} \in A x_{1} \dots x_{m} c_{1}^{*} \dots c_{r}^{*} \sim y_{1} \dots y_{m} c_{1}^{*} \dots c_{r}^{*} .

$x_1\cdots x_m\approx y_1\cdots y_m\iff\exists c_1,\dots,c_r\in A\,x_1\cdots x_mc_1^*\cdots c_r^*\sim y_1\cdots y_mc_1^*\cdots c_r^*.$

A^{k}

$A^k$

\sim

$\sim$

\approx

$\approx$

M^{'} = F / \approx

$M'=F/{\approx}$ И весовая функция . Поскольку простирает , коммутативно и является частным ; в частности, . С другой стороны, если , то же рассуждение , как выше , вместе с определением даст , и такой что для всех , поэтому как - главный клон, противоречие.

w^{'} : A^{k} \to M^{'}

$w'\colon A^k\to M'$

\approx

$\approx$

\sim

$\sim$

M^{'}

$M'$

M

$M$

C \subseteq Pol (w^{'})

$\cC\subseteq\pol(w')$

f ∥ w^{'}

$f\pres w'$

\approx

$\approx$

g \in C \cap Sym (A^{n + r})

$g\in\cC\cap\sym(A^{n+r})$

c_{1}, \dots, c_{r} \in A

$c_1,\dots,c_r\in A$

g (x, c_{1}, \dots, c_{r}) = (f (x), c_{1}, \dots, c_{r})

$g(x,c_1,\dots,c_r)=(f(x),c_1,\dots,c_r)$

x \in A^{n}

$x\in A^n$

f \in C

$f\in\cC$

C

$\cC$

Определение гарантирует , что для всех , и . Отсюда следует, что элементы являются отрицательными в . Легко известный факт, что любой коммутативный моноид может быть встроен в другой, где все компенсирующие элементы становятся обратимыми. Композиция такого вложения с тогда является функцией главного веса , и , следовательно, . QED $\approx$

x c^{*} \approx y c^{*} ⟹ x \approx y

$xc^*\approx yc^*\implies x\approx y$

x, y \in F

$x,y\in F$

c \in A

$c\in A$

c^{*} / \approx = w^{'} (c^{*})

$c^*/{\approx}=w'(c^*)$

M^{'}

$M'$

w^{'}

$w'$

w^{″}

$w''$

Pol (w^{'}) = Pol (w^{″})

$\pol(w')=\pol(w'')$

w^{″} \in {MInv}^{*} (C) ∖ {MInv}^{*} (f)

$w''\in\minv^*(\cC)\setminus\minv^*(f)$

РЕДАКТИРОВАТЬ: Обобщение двойственности клон-коклон выше, теперь написано в

[1] E. Jeřábek, соединение Galois для операций с несколькими выходами , препринт, 2016, arXiv: 1612.04353 [math.LO] .

— Эмиль Йержабек поддерживает Монику
источник

Большое спасибо за усилия, которые нужно было предпринять, чтобы написать это! Мне понадобится время, чтобы переварить это, поскольку язык клонов и универсальной алгебры для меня достаточно абстрактен (действительно, это был камень преткновения, когда я пытался читать эту литературу в прошлом). Но когда мы разрабатываем клоны конкретно, полезно знать, что все они будут характеризоваться инвариантами, как, впрочем, и все примеры, которые мы знали. (Кстати, чтобы увидеть, скажем, Фредкина + НЕ как характеризуемый инвариантом, я думаю, мы смотрим на пары входов и говорим, что каждое преобразование сохраняет сумму их четностей?)

— Скотт Ааронсон

Между тем, я уже успел доложить по конкретному вопросу. Мне удалось классифицировать все точки в решетке над воротами Фредкина: единственные возможности - это преобразования, которые сохраняют вес Хэмминга mod k для любого k, преобразования, которые либо сохраняют, либо переворачивают вес Хэмминга mod 2 (сгенерированный Фредкиным + НЕ) и все преобразования. Я также могу охарактеризовать все точки в решетке над CNOTNOT: это только те, которые я перечислил в OP (CNOTNOT + NOT, CNOT, Fredkin + NOTNOT, Fredkin + NOT, все).

— Скотт Ааронсон

Да, для Фредкина + НЕ мы можем взять , . Спасибо за обновление, это звучит очень хорошо.

M = C (2)

$M=C(2)$

w (x, y) = x \oplus y

$w(x,y)=x\oplus y$

— Эмиль Йержабек поддерживает Монику

Конечно, есть надежда, что на практике инварианты намного меньше, чем то, что выпадает из доказательства. (Я полагаю, что в случае с Постом худшее, что может случиться, это ) Связь с Галуа напрямую не помогает в конкретной классификации, это скорее методологический инструмент. Во-первых, может быть легче найти ранее неопознанные классы, если вы знаете, какие свойства искать. Во-вторых, типичный шаг в доказательстве классификации Поста выглядит следующим образом. Мы добрались до класса где-то посередине решетки, и мы хотим описать классы над ним. ...

k \leq n + 1

$k\le n+1$

C

$C$

— Эмиль Йержабек поддерживает Монику

... определяется своими инвариантными соотношениями . Тогда любое правильное расширение должно содержать которое не сохраняет некоторый , и обычно можно затем манипулировать композицией и т. Д. В конкретную функцию с небольшим количеством переменных. Таким образом, получается список такой, что каждый класс строго над содержит класс, сгенерированный для некоторого , и можно перейти к той части решетки, которая выше , Это не требует общего соответствия, но зная инварианты конкретных классов, с которыми вы сталкиваетесь.

C

$C$

R_{1}, \dots, R_{k}

$R_1,\dots,R_k$

C

$C$

f

$f$

R_{i}

$R_i$

f

$f$

f_{1}, \dots, f_{c}

$f_1,\dots,f_c$

C

$C$

C \cup {f_{i}}

$C\cup\{f_i\}$

i

$i$

— Эмиль Йержабек поддерживает Монику