Графовые разложения для объединения «локальных» функций маркировки вершин

Где max или сумма берется по всем меткам $V$ , произведение берется по всем ребрам $E$ для графа $G=\{V,E\}$ а $f$ - произвольная функция. Эту величину легко найти для ограниченных графов ширины дерева и в общем случае NP-hard для плоских графов. Количество правильных раскрасок, максимальный независимый набор и количество эйлеровых подграфов являются особыми примерами вышеуказанной проблемы. Меня интересуют схемы аппроксимации полиномиального времени для задач такого типа, особенно для плоских графов. Какие графовые разложения были бы полезны?

Редактировать 11/1 : В качестве примера, я задаюсь вопросом о разложениях, которые могут быть аналогичны кластерным расширениям статистической физики (то есть расширению Майера). Когда $f$ представляет слабые взаимодействия, такие расширения сходятся, что означает, что вы можете достичь заданной точности с помощью $k$ условий расширения, независимо от размера графика. Не означает ли это наличие PTAS для количества?

Обновление 02/11/2011

Высокотемпературные расширения переписывают функцию распределения $Z$ как сумму слагаемых, в которых члены более высокого порядка зависят от взаимодействий более высокого порядка. Когда «исчезают корреляции», члены старшего порядка затухают достаточно быстро, так что почти вся масса $Z$ содержится в конечном числе членов младшего порядка.

Например, для модели Изинга рассмотрим следующее выражение ее функции разбиения.

Здесь $c$ простая константа, $C$ - множество эйлеровых подграфов нашего графа, $|A|$это число ребер в подграфе $A$ .

Мы переписали функцию разбиения как сумму по подграфам, где каждый член в сумме экспоненциально штрафуется размером подграфа. Теперь сгруппируйте члены с одним и тем же показателем и приблизьте $Z$ , взяв первые $k$ членов. Когда число эйлеровых подграфов размера $p$ не растет слишком быстро, ошибка нашего приближения экспоненциально уменьшается с ростом $k$ .

Приблизительный подсчет в общем сложный, но простой для случаев «затухания корреляции». Например, в случае модели Изинга наблюдается затухание корреляции, когда растет медленнее, чем где - число эйлеровых подграфов размера . Я полагаю, что в таком случае усечение высокотемпературного расширения дает PTAS для( tanh J ) k f ( k ) k $f(k)$$(\tanh J)^k$$f(k)$$k$$Z$

Другим примером является подсчет взвешенных независимых наборов - он пригоден для любого графика, если вес достаточно мал, потому что вы можете заставить проблему демонстрировать затухание корреляции. Затем количество аппроксимируется путем подсчета независимых множеств в областях ограниченного размера. Я полагаю, что результат Dror Weitz 'STOC'06 подразумевает, что невзвешенный независимый подсчет множеств возможен для любого графа с максимальной степенью 4.

Я нашел два семейства «локальных» разложений - кластерные графы Бете и графы регионов Кикучи. По сути, декомпозиция Bethe говорит вам о необходимости умножать счет в регионах и делить на счет в перекрытиях регионов. Метод графика области Кикучи улучшает это, принимая во внимание, что перекрытия областей могут сами перекрываться, используя тип коррекции «включение-исключение».

Альтернативный подход состоит в том, чтобы разложить проблему на глобально поддающиеся трактовке части, например, в «Вариационный вывод над комбинаторными пространствами». Однако локальные декомпозиции позволяют контролировать качество аппроксимации, выбирая размер региона

То, что я хочу сказать, слишком длинно для (но действительно должно быть) комментария.

Если я правильно читаю вопрос, вам нужна FPRAS (полностью полиномиальная схема рандомизированной аппроксимации) для любой из вышеуказанных величин, каждая из которых включает в себя различные # P-полные задачи в качестве особых случаев. В частности, вы хотите общий FPRAS в случае плоских графов, используя расширение кластера.

Я сомневаюсь, что это возможно из-за того факта, что NP-полнота проблемы существования (например, правильная раскраска) подразумевает, что соответствующая проблема подсчета (например, количество правильных раскрасок) завершена в #P относительно AP-сводимости (приближение- сохранение). См. Dyer, Goldberg, Greenhill and Jerrum, Algorithmica (2004) 38: 471-500.

Но, возможно, я неправильно понял вопрос.

(На самом деле, не могли бы вы объяснить непосвященному значение высокотемпературных расширений?)