Как найти интересные проблемы исследования

Несмотря на несколько лет занятий, я все еще в растерянности, когда дело доходит до выбора темы исследования. Я просматривал документы из разных областей и разговаривал с профессорами, и я начинаю думать, что это неправильный подход.

Я читал, что это помогает найти интересную проблему (не обращая внимания на область), а затем поработать над этим. В учебниках упоминаются известные нерешенные, но я бы не хотел заниматься ими напрямую. В исследовательских работах упоминаются только положительные результаты, а не неудачные попытки.

Как я могу найти интересные исследовательские проблемы? Как вы находите интересные исследовательские проблемы? Есть ли где-нибудь список?

Как вы решаете, стоит ли работать над конкретной проблемой?

Я категорически не согласен с подходом «найди список открытых проблем». Обычно в открытых проблемах довольно трудно добиться прогресса, и я полностью убежден, что хорошие исследования проводятся путем решения какой-то сложной, но неинтересной проблемы в технической области.

При этом, конечно, решение открытой проблемы действительно хорошо для академических полномочий. Но это не то, что вы спрашиваете.

Исследование - это процесс, призванный генерировать понимание на высоком уровне. Решение технических проблем является средством для достижения этой цели: часто проблема и ее решение освещают структуру или поведение какого-либо научного явления (математическая структура, практика языка программирования и т. Д.).

Итак, мое первое предложение: найдите проблему, которую вы хотите понять. Исследования основаны на путанице. Существуют ли какие-то конкретные темы, которые вас интересуют, но вы чувствуете, что у вас есть принципиально неполное понимание, или это кажется технически ясным, но для чего вам не хватает хорошей интуиции? Это хорошие отправные точки. Следуйте совету Терри Тао, задавайте себе глупые вопросы! Из этих соображений вытекает много хороших исследований. На самом деле, вся эта страница содержит много полезных советов. Обратите внимание, что если вы смотрите на хорошо изученную проблему или область, маловероятно, что вы сразу получите оригинальную информацию, поэтому важно читать литературу одновременно с вашими собственными исследованиями.

Во-вторых, не стоит сбрасывать со счетов общение с профессорами. Спросите их об их собственных исследованиях, не обязательно о проектах, которые они хотят дать вам. Вступайте в разговор! Это поможет вам узнать, что вас интересует, а также как выглядит исследовательский ландшафт в своей области. Исследования не происходят в вакууме, поэтому вам следует поговорить со своими сокурсниками, докторами наук на вашем факультете, пойти на лекции и семинары в ваш университет и т. Д. Вы обнаружите, что погружение в исследовательскую среду помогает вам проводить исследования гораздо больше, чем просто найти список или конкретную проблему и запереться в своем офисе.

Наконец, я бы предложил поработать над чем-то маленьким . Исследования идут снизу вверх намного больше, чем сверху вниз, и очень редко очень простая задача (написание доказательства или программы) оказывается настолько простой, насколько вы ожидали. Выполнение нескольких небольших проектов, которые не являются масштабными для исследований (расширение домашних заданий, написание объяснения того, чему вы научились), часто выстраивается в подлинный материал исследовательского уровня. Поначалу принято пытаться «идти в ногу со временем», но именно так работает наш мозг.

Дэвид Гильберт - известный математик. Он выдвинул список из 23 нерешенных проблем на Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 году.
Я просто хочу процитировать часть интервью Юрия Манина под названием «Хорошие доказательства - доказательства, которые делают нас мудрее» о Гильберте и его списке:

В этом году Международный конгресс является последним ICM в этом столетии. Как вы думаете, Гильберт все еще возможен? Существуют ли современные проблемы, связанные с проблемами Гильберта?
На самом деле я не верю, что список Гильберта сыграл большую роль в математике этого столетия. Это было психологически важно для многих математиков. Например, Арнольд сказал, что, будучи молодым аспирантом, он скопировал список проблем Гильберта в свой блокнот и всегда держал его при себе. Но когда Гельфанд узнал об этом, он на самом деле насмехался над Арнольдом. Арнольд рассматривал решение проблем как неотъемлемую часть великих математических достижений. Для меня это по-другому. Я вижу процесс математического творчества как своего рода распознавание существовавшего ранее образца. Когда вы изучаете что-то - топологию, вероятность, теорию чисел, что угодно - сначала вы приобретаете общее видение обширной территории, а затем сосредотачиваетесь на ее части. Позже вы пытаетесь распознать «что там?» И «что уже видели другие люди?».
Является ли упор на решение проблем своего рода романтическим взглядом: великий герой, который покоряет гору?
Да, как-то своего рода спортивный взгляд. Я не говорю, что это не имеет значения. Это очень важно для молодых людей, поскольку в качестве психологического инструмента, чтобы заманить молодых людей, необходимо добиться определенного общественного признания за большие достижения. Хорошая проблема - это воплощение видения великого математического ума, который не мог видеть пути, ведущие к некоторой высоте, но который осознавал, что есть гора. Но это не способ увидеть математику, ни способ представить математику широкой публике. И это не суть. Особенно, когда такие проблемы ставятся в списке, это что-то вроде списка столиц великих стран мира: он передает минимально возможную информацию вообще. Я на самом деле не верю, что Гильберт думал, что это способ организовать математику.

в конечном счете, это субъективный и личный вопрос, и «в долгосрочной перспективе», какие проблемы считаются важными, в некоторой степени входят и выходят из научной моды, но могут быть некоторые грубые общие рекомендации, с которыми многие согласятся, а также ведущие эксперты рассмотрел вопрос. проблемы вездесущи, и это скорее процесс их сужения.

• # 1 в списке почти всегда, поговорите со своим консультантом! это часть их работы, и если он / она не высказывает никаких идей, возможно, это не лучший знак, и подумайте, что вы могли бы извлечь выгоду или нуждаться в другой.

• Над чем работают многие люди в вашем университете? У каждого университета обычно есть определенные специализации, и там будет энтузиазм или даже волнение для определенных областей / проблем.

• Посмотрите на награды в этой области, чтобы увидеть, какие области они изучают, или призы. в ТКС ее Тьюринга , гёделевскому премии , премии Неванлинна , Millenium призы . очевидно, что они предназначены для работы на высшем уровне / прорыв, но по своей природе они охватывают большие области, где есть дополнительные работы.

• Лучшие блоги TCS - отличный источник информации о различных проблемах.

также, чтобы ответить на этот вопрос, может быть полезно «вернуться к корням» в следующем смысле. Один из легендарных мастеров в этой области среди величайших достижений - математик Гильберт, и многие из его фундаментальных идей по выбору задач применимы и заслуживают рассмотрения / изучения. оказалось, что многие из его открытых проблем, которые привели к математике на рубеже 20-го века, имеют удивительную / глубокую связь с алгоритмической теорией, например, с неразрешимостью, например, суть Годеля, проблема Холтинга и ключевая 10-я проблема . его взгляды обобщены Лагариасом, с. 9, в оценке гипотезы Коллатца как «хорошей проблемы»:

Сложно и часто невозможно заранее оценить ценность проблемы; поскольку окончательная награда зависит от выгоды, которую наука получает от этой проблемы. Тем не менее, мы можем спросить, существуют ли общие критерии, которые обозначают хорошую математическую проблему. Старый французский математик сказал: «Математическая теория не должна считаться законченной, пока вы не проясните это так, что вы можете объяснить ее первому человеку, которого вы встретите на улице». Эта ясность и простота понимания здесь настаивали на для математической теории я должен еще больше требовать математической задачи, если она должна быть совершенной; то, что ясно и понятно, привлекает, сложное отталкивает нас. Кроме того, математическая задача должна быть сложной, чтобы соблазнить нас, но не полностью недоступной, чтобы не посмеяться над нашими усилиями. Это должно быть для нас путеводителем по безумным путям к скрытым истинам и, в конечном счете, напоминанием о нашем удовольствии от его успешного решения.

Lagarias суммирует эти элементы как:

1. Является ли проблема ясной, а просто заявленной проблемой?
2. Это сложная проблема?
3. Кажется ли это доступным, а не «издеваться над нашими усилиями по его решению»?

к сожалению, многие открытые проблемы терпят неудачу на # 3, но, как уже упоминалось, всегда есть соседние проблемы и релаксации, которые считаются более доступными, и даже просто формулировка этих релаксаций может считаться частью достоверного исследования.