проблема

У меня есть неориентированный граф (с несколькими ребрами), который будет меняться со временем, узлы и ребра могут быть вставлены и удалены. При каждой модификации графика я должен обновлять связанные компоненты этого графика.

свойства

Дополнительные свойства состоят в том, что никакие два компонента никогда не будут повторно соединены. Очевидно, что граф может иметь циклы в произвольном количестве (в противном случае решение будет тривиальным). Если ребро не содержит узел n , он никогда не примет этот узел. Однако, если n ∈ e , он может измениться на n ∉ e .$e$$n$$n \in e$$n \notin e$

подходы

Пока у меня есть два возможных подхода, но, как вы увидите, они ужасны:

Медленное состояние без

Я могу искать (dfs / bfs) график, начиная с измененного элемента (ов) каждый раз. Это сохраняет пространство, но медленно, так как у нас есть O (n + m) для каждой модификации.

Быстрый (-er) (?) Подход с учетом состояния

Я могу сохранить все возможные пути для каждого узла для всех возможных узлов, но если я правильно его увижу, это займет O (n ^ 4) памяти. Но я не уверен, как улучшается среда выполнения (если она вообще есть, потому что я должен постоянно обновлять информацию для каждого узла в одном и том же компоненте).

Вопрос

Есть ли у вас какие-либо указания, как я могу узнать больше об этой проблеме или, возможно, некоторые алгоритмы, которые я могу построить?

Заметка

Если бы было значительное улучшение времени выполнения / памяти, я мог бы жить с неоптимальным решением, которое иногда говорит, что два компонента - это одно, но, конечно, я бы предпочел оптимальное решение.

Существует несколько структур данных, которые поддерживают вставки ребер, удаления ребер и запросы связности (это две вершины в одном и том же связанном компоненте?) В полилогарифмическое время.

• Моника Р. Хензингер и Валерия Кинг. Алгоритмы рандомизированных полностью динамических графов с полилогарифмическим временем на операцию . Журнал ACM 46 (4): 502-516, 1999.

• Якоб Холм, Кристиан де Лихтенберг и Миккель Торуп. Полилогарифмические детерминированные полностью динамические алгоритмы для связности, минимального связующего дерева, 2-ребра и двусвязности , Журнал ACM 48 (4): 723-760, 2001.

• Миккель Торуп. Почти оптимальная связность полностью динамического графа . Proc. 32-й STOC 343—350, 2000.

Я думаю, что вы ищете то, что называется алгоритмом динамического графа для декомпозиции связных компонентов. Алгоритм Хольма, де Лихтенберга и Торупа [HLT01] амортизирует полилогарифмическое время при каждом обновлении ребра. Прошло много времени с тех пор, как я смотрел на проблему в прошлый раз, поэтому, вероятно, есть более недавний прогресс.

[HLT01] Джейкоб Холм, Кристиан де Лихтенберг и Миккель Торуп. Полилогарифмические детерминированные полностью динамические алгоритмы для связности, минимального связующего дерева, 2-ребра и двусвязности. Журнал ACM , 48 (4): 723–760, июль 2001 г. http://doi.acm.org/10.1145/502090.502095

(А пока позвольте мне остановиться на запросах о подключении, которых, к сожалению, может не хватить для вашего приложения.)

Многие из предыдущих работ, посвященных проблеме динамического соединения, были посвящены модели обновления ребер: вы предполагаете, что количество вершин фиксировано, и вы можете вставлять и / или удалять ребра при выполнении запросов. Если вы можете только вставить (удалить), это инкрементно (декрементно). Если вы можете сделать оба, это полностью динамично. Работа Торупа, на которую указал Джефф (и я в комментарии), все для крайних обновлений.

AFAIK, сообщество теории CS только начинает изучать обновления вершин для общих графов. Чан, Пэтрашку и Родитти провели в FOCS 2008 новаторскую работу по этому вопросу. См. Эту ссылку для самой последней (сентябрь 2010 г.) ревизии и ссылки внутри.