Существование длинных индуцированных путей в графах расширителей

Скажем, семейство графов имеет длинные индуцированные пути, если существует константа ϵ > 0 такая, что каждый граф G в F содержит индуцированный путь на | V ( G ) | ϵ вершины. Меня интересуют свойства семейств графов, которые обеспечивают существование длинных индуцированных путей. В частности, я в настоящее время задаюсь вопросом, имеют ли расширители постоянной степени длинные индуцированные пути. Вот что я знаю.$\mathcal{F}$$\epsilon > 0$$G$$\mathcal{F}$$|V(G)|^{\epsilon}$

• Случайные графы с постоянной средней степенью (в модели Эрдеша – Реньи) имеют длинные (даже линейного размера) индуцированные пути с высокой вероятностью; см. например статью Суена .
• Графы расширителей уникальных соседей (согласно определению Алона и Копальбо ) имеют большие индуцированные деревья . На самом деле любое максимальное индуцированное дерево велико в таких графах.

Учитывая эти два факта, я ожидал бы, что расширители с уклоном степени имеют длинные индуцированные пути. Однако я не смог найти никаких конкретных результатов. Любые идеи очень ценятся.

Ответ должен быть положительным , если ваш ограниченным-градусный график имеет и свойство иметь расширение постоянного и обхват. Аргумент был бы: начать в вершине, то для N & epsi шагов погуляем , в котором каждый шаг выбирается случайным образом среди тех , которые не принимают нас туда, где мы были шагом назад. (Таким образом, если график d- регулярный, мы имеем d - 1 случайный выбор на каждом шаге.)$\Omega( \log n)$$n^\epsilon$$d$$d-1$

Теперь я утверждаю, что для каждого и j , если я посмотрю на шаги i и j шага , вероятность того, что между вершиной на шаге i и вершиной на шаге j будет ребро, равна n - Ω ( 1 ) . Тогда, если ε выбран достаточно малым, объединение неизбежно будет показано , что прогулка будет индуцировать путь с вероятностью 1 - уплотнительный ( 1 ) . $i$$j$$i$$j$$i$$j$$n^{-\Omega(1)}$$\epsilon$$1-o(1)$

Если меньше обхвата, то вероятность ребра между i и j равна нулю. Если j > i + Ω ( log n ) , то расширения графа должно быть достаточно, чтобы утверждать, что существование ребра ( i , j ) происходит с вероятностью n - Ω ( 1 ) . Это связано с тем, что для фиксированной начальной вершины v распределение шага после числа шагов, равных обхвату, является равномерным по набору размеров$|i-j|$$i$$j$$j> i+ \Omega(\log n)$$(i,j)$$n^{-\Omega(1)}$$v$ , и поэтому имеет вероятность столкновения n - Ω ( 1 ) ; каждый последующий шаг должен только уменьшать вероятность столкновения (это верно для фактического случайного блуждания, но это также должно быть верно для этого обхода без обратного отслеживания), поэтому вероятность столкновения и, следовательно, минимальная энтропия распределения остаются n - Ω ( 1 ) , и вероятность попадания в одного из O ( 1 ) соседей v также равна n - Ω ( 1 ) .$n^{\Omega(1)}$$n^{-\Omega(1)}$$n^{-\Omega(1)}$$O(1)$$v$$n^{-\Omega(1)}$