Сложность пересечения регулярных языков как контекстно-свободных грамматик

При заданных регулярных выражениях , существуют ли нетривиальные ограничения на размер наименьшей контекстно-свободной грамматики для ? $R_1, \dots, R_n$ $R_1 \cap \cdots \cap R_n$

fl.formal-languages regular-language context-free

— Максимум
источник

??? пытаясь визуализировать это. есть какая-то хитрость? пересечение

правильное. можно найти минимальный DFA (по количеству состояний) с помощью стандартных методов, которые также являются CFG.

R_{n}

$R_n$

— vzn

@vzn: ты прав. Проблема в том, что этот DFA и, следовательно, CFG могут быть очень большими. Мне интересно, можно ли использовать дополнительную мощность CFG для получения более краткого описания пересечения.

— Макс

не догадка подозревать, что каждый CFL, который распознает (то есть эквивалентен) RL, не использует свой стек или может быть преобразован в тот, который не увеличивает состояния, и минимальный такой PDA (по количеству состояний) имеет тот же размер, что и минимальный DFA. никогда не слышал / не видел доказательств этого. это может быть не сложно? более простой вопрос, есть ли PDA, который распознает RL, который меньше, чем DFA? не думай

— ВЗН

@vzn: Полезная гипотеза, но ложная: пусть

будет подмножеством языков Дика в скобках двух типов, где максимальная глубина вложения равна

. Существует CFG для

размера

, но минимальный DFA (даже, я думаю, минимальный NFA) имеет размер

L_{k}

$L_k$

k

$k$

L_{k}

$L_k$

O (k)

$O(k)$

O (2^{k})

$O(2^k)$

— Макс

Дейк-языки - это КЛЛ, а не КЛ ...? но видите, что вы ограничиваете максимальную глубину вложения ... так что же вы можете создать тот же язык с пересечениями RL? что / где доказательство того, что минимальный DFA такой большой? это

состояний ? Вы не определяете критерии минимальности или где-либо еще, а состояния воспринимаете как естественный случай, но часто это не единственный случай.

O (2^{k})

$O(2^k)$

— vzn

Ответы:

Это отличный вопрос, и он действительно входит в мои интересы. Я рад, что ты спросил это Макс.

Пусть дано DFA с не более чем состояниями. Было бы хорошо, если бы существовал КПК с субэкспоненциально большим количеством состояний, который принимает пересечение языков DFA. Однако я полагаю, что такой КПК не всегда может существовать. $n$ $O(n)$

Рассмотрим язык копирования. Теперь ограничимся копированием строк длиной n.

Формально рассмотрим копию $n$ $:=$ . $\{ xx \, | \, x \in \{0,1\}^{n}\}$

Мы можем представить копию как пересечение DFA с размером не более . Однако самый маленький DFA, который принимает копию, имеет состояний. $n$ $n$ $O(n)$ $n$ $2^{\Omega(n)}$

Точно так же, если мы ограничимся алфавитом бинарного стека, то я подозреваю, что наименьший КПК, который принимает копию, имеет экспоненциально много состояний. $n$

PS Не стесняйтесь, присылайте мне по электронной почте, если вы хотите обсудить дальше. :)

— Майкл Вехар
источник

Я не думаю, что могут быть какие-либо нетривиальные нижние или верхние границы.
Для нижних оценок рассмотрим язык для фиксированного . Размер наименьшей контекстно-свободной грамматики является логарифмическим по размеру регулярного выражения , тогда как размер наименьшего автомата для является линейным по размеру регулярного выражения . Эта экспоненциальная разница остается неизменной, если мы пересекаем с другими такими языками. Для верхних границ рассмотрим язык , состоящий ровно из одного $L_1 = \{ a^{2^k} \}$ $k$ $L_1$ $L_1$ $L_1$ $L_1$
$L_2$ Дебрюйн-последовательность длиной . Известно, что размер наименьшей грамматики для является наихудшим, то есть $n$ $L_2$ , поэтому разница с «наименьшим» автоматом дляявляется просто логарифмическим фактором, предложение 1 в $O\left( \frac{n}{\log n} \right)$ $L_2$

D. Hucke, M. Lohrey, E. Noeth Создание маленьких грамматик дерева и малых схем для формул , которые появятся в FSTTCS 2014

Нетривиальная общая нижняя или верхняя граница противоречила бы этим результатам, так как то, что верно для пересечения языков, должно быть верно для пересечения языка. $n$ $1$

— john_leo
источник

Замечание о размере наименьшей грамматики для единственной последовательности Дебрюйна довольно интересно. Не могли бы вы предоставить ссылку. Спасибо.

— Майкл Вехар

Кроме того, я могу ошибаться, но кажется, что вы рассматривали проблему только для одного регулярного выражения (а не продукта регулярных выражений)?

— Майкл Вехар

n

$n$

Спасибо! Вы смогли описать конкретный пример. Вот простое замечание, приводящее к существованию таких примеров. Пусть п будет дано. Есть 2 ^ n строк длины n. Кроме того, существует не более 2 ^ n машин Тьюринга с не более чем n / log (n) состояниями. Следовательно, некоторая строка x длины n такая, что ни одна машина Тьюринга с числом состояний меньше n / log (n) не принимает язык {x}. Следовательно, {x} принимается DFA с n состояниями и не может быть принято PDA с менее чем n / log (n) состояниями.

— Майкл Вехар

Позвольте мне высказать второе мнение Майкла, это действительно интересный вопрос. Основная идея Михаэля может быть объединена с результатом из литературы, таким образом обеспечивая подобную нижнюю границу строгим доказательством.

$n$ $k$

$2^{k+1}$ $2^k+1$ $s$ $O(s^2)$ $O(4^{k})$

$2^{\Omega(\sqrt{k}/\log k)}$

$L_n = \{\,ww^Rw \in \{a,b\}^*\mid |w|=n\,\}$ $w^R$ $w$ $L_n$ $2n+1$

$r_i = (a+b)^ia(a+b)^{2(n-i-1)}a(a+b)^*+(a+b)^ib(a+b)^{2(n-i-1)}b(a+b)^*$ $1\le i \le n$
$s_i = (a+b)^*a(a+b)^{2(n-i-1)}a(a+b)^i+(a+b)^*b(a+b)^{2(n-i-1)}b(a+b)^i$ $1\le i \le n$
$\ell = (a+b)^{3n}$

$k$ $O(n^2)$

$L_n$ $2^n/(2n) = 2^{\Omega(\sqrt{k}/\log k)}$ $2$ $n$ $n^n/(2n)$

$O(4^n)$

Ссылки:

В. Арвинд, Пушкар, С. Джоглекар, Срикант, Сринивасан. Арифметические схемы и произведение многочленов Адамара , FSTTCS 2009, Vol. 4 из LIPIcs, с. 25-36
Ланге, Мартин; Leiß, Hans (2009). « Для CNF или нет для CNF? Эффективная, но презентабельная версия алгоритма CYK ». Informatica Didactica 8.

— Герман Грубер
источник