Путаница в том, что сокращение числа вершин охватывает количество циклов

Это смущает меня.

Один простой случай подсчета - это когда проблема решения находится в а решений нет. $P$

Лекция показывает, что проблема подсчета числа совершенных совпадений в двудольном графе (эквивалентно подсчету числа циклов в ориентированном графе) является -полной. $\#P$

Они дают сокращение от подсчета покрытий вершин размера до подсчета покрытий циклов в орграфе с использованием гаджетов. $k$

Теорема 27,1 Число хороших чехлов цикла в является раза числа вершин обложек размера . $H$ $(k!)^2$ $G$ $k$

Используя гаджет они оставляют только «хорошие» циклы.

Мое понимание лекции состоит в том, что не имеет покрытия вершин размера если преобразованный орграф не имеет покрытия циклов. Проверка того, имеет ли покрытие циклом, может быть выполнена за полиномиальное время, подразумевая, что поскольку мы можем преобразовать проблему решения в поиск решения. $G$ $k$ $G'$ $G'$ $P=NP$

Что я недопонимаю?

Перманент матрицы смежности орграфа считает циклические покрытия и является -завершенным. $\#P$

Проблема Решение «Является ли перманент (0,1) матрицы нуля» в Р , так как найти крышку цикла в . $P$

подразумевает, что не существует редукции подсчета полных задач до счета -перманента, который отображает . $P \ne NP$ $NP$ $(0,1)$ $0 \mapsto 0$

Изменить связанный вопрос МО

добавленной

Markus Bläser указывает, что плохой цикл все еще "там", но сумма их весов исчезает.

Как мне кажется, вес плохого цикла в виджете равен нулю.

Со страницы 148 (11 из pdf):

Полная матрица смежности B с подматрицами A, соответствующими этим четырем узлам виджетов, имеет значение 1 для каждого покрытия хорошего цикла в H и 0 для каждого покрытия плохого цикла

Другой вопрос:

Разве покрытие максимального цикла веса не будет содержать только хорошие циклы, соответствующие покрытию вершин в исходном графе? $k$

В CC каждая вершина должна быть ровно в одном цикле.

cc.complexity-theory graph-theory

— Joro
источник

Они не оставили только хорошие циклы. В своих аргументах о подсчете они исключили плохие циклы. Проблема в том, что вы должны считать хорошие обложки циклов. Поэтому, если вы найдете покрытие цикла, которое не является хорошим покрытием цикла, вы не сможете получить покрытие k-вершины. Но если вы найдете хорошее покрытие цикла да, график имеет k-VC. Это ничего не нарушает.

— Саид

k

$k$

@ Seed Разве они не считают все покрытия циклов в преобразованном G '?

— Джоро

Сокращение присваивает веса ребрам. Покрытия для плохих циклов могут иметь положительный или отрицательный вес, там общий вклад равен нулю. Но эти циклы все еще «там» и могут быть обнаружены алгоритмом обнаружения покрытия цикла, и в этом случае вы не знаете, есть ли хорошее покрытие цикла или нет.

— Маркус Блезер

@ MarkusBläser Спасибо, это имеет смысл :). Почему бы не ответить?

— Joro

Похоже, недоразумение заключается в следующем:

В окончательном сокращении до (0,1) -перманентности они используют модульную арифметику, что нарушает мой аргумент.

$A$ $B$

$n$ $perm(A)=0$ $perm(B)=mn$

$n$ $B$

Не нашли изъяна в вопросе о максимальном покрытии взвешенного цикла, который, по-видимому, не затронут вышеуказанным.

— Joro
источник