Ограничена ли проблема доминирующего множества плоскими двудольными графами максимальной степени 3 NP-полной?

Кто-нибудь знает о результате NP-полноты для задачи DOMINATING SET в графах, ограниченной классом плоских двудольных графов максимальной степени 3?

Я знаю, что он NP-полон для класса плоских графов максимальной степени 3 (см. Книгу Гарея и Джонсона), а также для двудольных графов максимальной степени 3 (см. М. Хлебик и Й. Хлебикова, "Приближение твердости доминирующее множество задач в ограниченных графах степени "), но не смог найти комбинацию двух в литературе.

Что если вы просто сделаете следующее: для графа создайте другой граф , разделив каждое ребро на 4 части; здесь - множество новых узлов, которые мы ввели, и,G ′ = ( V ∪ U , E ′ ) G U | U | = 3 | E $G = (V,E)$$G' = (V \cup U, E')$$G$$U$$|U| = 3|E|$

Граф двудольный. Более того, если плоская и имеет макс. степень 3, то также плоская и имеет макс. 3 степень G G $G'$$G$$G'$

Пусть (минимальное) доминирующее множество для . Рассмотрим ребро которое было подразделено для образования пути в . Теперь ясно, что хотя бы один из находится в . Более того, если у нас есть более одного из в , мы можем изменить так, чтобы он оставался допустимым доминирующим множеством и его размер не увеличивался. Например, если у нас и , мы можем одинаково хорошо удалить из и добавить кG ′ ( x , y ) ∈ E ( x , a , b , c , y ) G ′ a , b , $D'$$G'$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$G'$$a,b,c$ a , b , c D ′ D ′ a ∈ D ′ c ∈ D ′ c D ' у D ' | D ′ ∩ U | $D'$$a,b,c$$D'$$D'$$a \in D'$$c \in D'$$c$$D'$$y$$D'$, Следовательно, wlog,$|D' \cap U| = |E|$

Тогда рассмотрим . Предположим, что и . Тогда у нас должен быть узел такой, что . Следовательно, есть ребро такое, что у нас есть путь в . Поскольку и , мы имеем , и чтобы доминировать мы должны иметь . Следовательно , в узел является соседом с . То естьx ∈ V x ∉ D ′ a ∈ D ′ ( x , a ) ∈ E ′ ( x , y ) ∈ E ( x , a , b , c , y ) G ′ a , b , c ∈ U a ∈ D ′ b , c ∉ $D = D' \cap V$$x \in V$$x \notin D'$$a \in D'$$(x,a) \in E'$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$G'$$a,b,c \in U$$a \in D'$ c y ∈ D $b, c \notin D'$$c$$y \in D'$y x y ∈ D $G$$y$$x$$y \in D$$D$является доминирующим множеством для .$G$

С другой стороны , рассмотрим (минимум) доминирующее множество для . Построить доминирующее множество для так, чтобыследующим образом: Для ребра который был подразделен для формирования пути в , мы добавляем к если и ; мы добавляем к если и y ∉ D ; а в противном случае мы добавляем b к D ′G D ′ G ′ | D ′ | = | D | + | E | ( x , y ) ∈ E ( x , a , b , c , y ) G ′ a D ′ x ∉ D y ∈ D c D ′ x ∈ $D$$G$$D'$$G'$$|D'| = |D| + |E|$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$G'$$a$$D'$$x \notin D$$y \in D$$c$$D'$$x \in D$$y \notin D$$b$$D'$, Теперь можно проверить, что является доминирующим множеством для G ′ : по построению все узлы в U являются доминирующими. Пусть теперь x ∈ V ∖ D ′ . Тогда существует y ∈ V такой, что ( x , y ) ∈ E , и, следовательно, вдоль пути мы имеем , который доминирует над .$D'$$G'$$U$$x \in V \setminus D'$$y \in V$$(x,y) \in E$$(x,a,b,c,y)$$a \in D'$$x$

Таким образом, если имеет доминирующий набор размера , то имеет доминирующий набор размера не болееИ если G ' имеет доминирующее множество размера к + | E | тогда G имеет доминирующий набор размеров не более k .$G$$k$$G'$$k + |E|$$G'$$k + |E|$$G$$k$

Редактировать: Добавлена ​​иллюстрация. Вверху: исходный граф ; средний: граф G ' с «нормированным» доминирующим множеством; Дно: граф G ' с произвольным набором доминирующей.$G$$G'$$G'$